. , LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 263
   valore di x, per cui f{x) cambia di segno: sicché, f(a2) avrà Jo stesso segno di f (a) ed f(b3) quello di f(b). Così continuando, si trova una successione di intervalli, che si può rendere grande ad arbitrio (posto che non si trovi un valore ch0 annulli f{x), nel qual caso il teorema sarebbe dimostrato), tale che
   aiàai h > h>.....>L>....
   '  %  «i =(¿1  «), h  az -=^(6  «),....,
   bn  an = ~(b  a),....
   Ora, le ai, ----, a . ... , poiché crescono sempre, rimanendo però minori di b, tendono (152) verso un limite col crescere di n; così, le bx, b2,.... , ba,...., poiché decrescono sempre rimanendo però maggiori di a, tendono pure verso
   un limite: ed essendo in generale au  bn = ~ 2(a b), sarà
   »
   (147, 55) lim aa  lim ba . Indicando con xx questo limite comune delle a e delle b, per un valore sufficientemente grande di n, aa e bu differiranno (135) da xx meno di un numero s piccolo a piacimento. Ma f (an) ed f(ba) sono di segno contràrio: dunque, sarà f{xx) = 0, perchè altrimenti la f{x), essendo continua per ipotesi in xlt nell'intorno (xx + e, xx  e) avrebbe uno stesso segno (161).
   163. Se i(x) è continua nell'intervallo (a, b), mentre x varia in questo con continuità, f(x) assume ogni valore compreso fra f(a) ed f (b). Infatti, se ad esempio: f (a) < c < f (b), sarà (55) f(a)  c< 0 ed f(b)  c>0: dunque, la funzione f{x) c assume, per x = a ed x = b, valori di segno contrario; esisterà perciò (162) un valore xt, compreso fra a e b, per il . quale f(xx)  c = 0, cioè (55) f(xx) = c.
   In altre parole: essendo f(x) una funzione continua, se la successione dei valori di # è continua (24), è continua pure la successione dei valori di f(x).
   Ma evidentemente la funzione f(x), continua nell'intervallo (a, b), potrà assumere anche più volte ogni valore compreso fra f(a) ed f{b). Soltanto quando cresca o decresca sempre, f(x) prenderà una volta sola ciascun valore dell'intervallo [f (a), f(b)]: in questa ipotesi, i valori degli intervalli (a, b) ed [/" («), f(b) 1 si corrispondono univocamente; ed allora,