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   CAPITOLO, IV.
   ad x l'incremento MM', il seno ed il coseno ricevono rispettivamente gli incrementi QM' e PP' = QM, che sono minori della corda MM' e quindi dell'arco MM' : pertanto, quando l'incremento MM' della variabile tende a 0, tendono pure a 0 gli incrementi del seno e del coseno, ossia seno e coseno sono funzioni continue di x. Dalle formolo, che esprimono le altre funzioni trigonometriche, si rileva che la secante e la tangente sono continue, per tutti i valori di x che non annullano il coseno, e la cotangente e la cosecante, per tutti i valori di x cho non annullano il seno. Per i valori di x, che annullano il coseno (il seno), tangente e secante (cotangente e cosecante) divengono discontinue di 2a specie, pas-
   7E
   sando per 1 infinito. Cosi, ad esempio, se x converge a -¡r, a dritta od
   A
   a sinistra, cos x tende a 0, a dritta od a sinistra, ma noi primo caso tang x tende a + co e nel secondo caso a  oo, cioè i limiti di tang«, a dritta ed a sinistra di cos x = 0, sono differenti ; e se x converge a 0, a dritta od a sinistra, sen x tende a 0 a dritta od a sinistra, ma cosec x tende nel primo caso a + co e nel secondo a  oo, cioè a due limiti differenti.
   161. Se f{x) e continua per co  a ed è f(a) < 0, la funzione f(x) conserva lo stesso segno nelle vicinanze di a. Indicando con a l'incremento di f(x) nell'intorno di a, potrà rendersi a minore di f(a) in valore numerico, poiché per ipotesi f(a) non è zero: perciò, f(a) + a avrà il segno di f(a), ossia f(x) conserverà lo stesso segno nell'intorna di a.
   162. Se una funzione f (x) è continua in un intervallo (a, b) e per x = a ed x  b assume valori f (a) ed f (b) di segno contrario, essa si annulla per un valore di x compreso fra a e b.
   Infatti, dividiamo (*) l'intervalla è  a in intervalli parziali
   eguali o minori di  (b  a). Se, per il valore di x corrispondente ad uno degli estremi di siffatti intervalli, f (x) assume il valore zero, il teorema è dimostrato. Quando ciò non avvenga, dovendo per ipotesi f (x) cambiare di segno, mentre x varia da a a b, questo cangiamento di segno avverrà in uno (ai, bi) degli intervalli parziali; per modo che, in «i, f(x) avrà il segno di f (a) ed, in bi, il segno di f(b). Se, in particolare, l'intervallo parziale è il primo, ai è eguale a.d a; se l'ultimo, bx è eguale a>b.
   Dividiamo analogamente l'intervallo bx ai in parti eguali
   o minori di  (bi  ai) ^  a (b  a) ; e sia (a2, b3) quello
   ìì% fììi
   degli intervalli parziali di (ai, èi), nel quale è contenuto il
   (1) L'alunno faccia la figura. Per fissare le idee, nello studio delle proprietà di questo Capitolo, sarà molto vantaggioso valersi sempre delta rappresentazione cartesiana (134).