. , LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 261
Nel caso di questa particolare discontinuità di 1' specie, siccome f(aA-h) gjjy(a h) tendono entrambe all'infinito, a dritta od a sinistra, così (140)
% iili ed - - tenderanno entrambe al limite =0, a dritta fjZ+h) f{a-h) i f(a)
à,sinistra; e perciò la funzione - è continua per x = a.
w % % ' ' t (x)
,60. Dai teoremi dei nn. 147-150, risulta che la somma ed il prodotto di funzioni continue sono pure funzioni continue, e ehe è una funzione continua il quoziente di due funzioni continue, semprechè non si annulli la funzione divisore.
' Pertanto, ogni funzione intera di a: è continua per tutti i valori (finiti) di x; ed ogni funzione razionale fratta è continua per tutti i valori di x, che non annullano qualche de- .
v CD Ì3?)
nominatore. Se i termini della funzione razionale 7-7-; sono '. - ò (x)
primi fra loro, un valore finito a di x, che annulli
un numero diverso da zero, per l'ipotesi, e da infinito (154, a)),
e quindi infinita: per x = a, ha dunque una discontinuità, che è di la 0 di 2a specie, secondochè, tanto a destra quanto a sinistra, di a, il limite di è, 0 no, costantemente 4- 00 ovvero 00.
cp (x) 1
Esempi. 1°. Se =-, facendo x a ± a, per cui x con-
4» (x) x a r
verge al limite a mentre a converge al limite 0, si ha lim =
j 4> (x)
lim = ± 00 : pertanto, quando x converge ad a, a dritta od a a o &
sinistra, -_ % converge rispettivamente a +00 ed a 00, cioè la discontinuità è di 2a specie. Tolta questa, - è sempre continua.
2°. Se --- si ha : lim --- = lim J^ w = lim , =
^ (x) ,(x a)2 x=«(a? af a=o (± a)2 0=0«'
+ co : perciò quando x converge ad a, a dritta od a sinistra,
(x af
converge sempre al limite + 00, cioè la discontinuità è di prima specie ;
fuori di questa, - è continua per tutti i valori di x.
3°. E noto che (') in un cerchio di raggio 1, indicando con x la lunghezza di un arco AM, si ha : sen x = MP, cos x = OP. Ora, se si da
0) Lo studioso faccia la figura.
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