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   CAPITOLO, IV.
   che, per tutti i valori di 8 minori di h, sia in valore assoluto f (a + 6)   f (®) < a ovvero f(a  6)  f (a) <. o ; ossia, ad un accrescimento infinitesimo della variabile non corrisponderà un accrescimento infinitesimo della funzione.
   In generale, f(x) chiamasi discontinua per x = a, quando ha anche solo una discontinuità a dritta od a sinistra di a.
   Allorché una funzione è discontinua, a dritta od a sinistra di o, s dice che fa un salto, a dritta od a sinistra di a.
   Se i valori f (a'+ h) ed f(a h), a destra ed a sinistra di a, hanno uno stesso limite determinato l diverso da f(a), cioè entrambi costituiscono discontinuità di la specie, si suole ristabilire la continuità della funzione in a, assumendo l, invece di f (a), come valore della funzione in a. Allo stesso modo, può sempre togliersi la discontinuità di la specie, almeno da una parte od in un estremo dell' intervallo (m, n).
   Una funzione di cesi continua o generalmente continua in un dato intervallo finito (m, n), gli estremi inclusi, secondochè è continua in tutti i punti dell'intervallo o discontinua solo in un numero finito di punti dell'intervallo stesso.
   159. Definita, come nel numero precedente, la continuità per funzioni finite e per un intervallo finito, non si può parlare di continuità d'una funzione, quando questa divenga infinita o si consideri in un intervallo infinito.
   Se f{x) nell'intervallo (m, n) tende all'infinito, mentre x tende ad a, non è soddisfatta la condizione che, fissato ad arbitrio un numero positivo a, esista un intervallo (a  h, a + h) tale che, per ogni valore a ± 8 di a; compreso in esso, sia f {a ± 8)  f{a) < c ; ossia, ad un incremento infihitésimo della variabile non corrisponderà un incremento infinitesimo, ma anzi un incremento infinito della funzione. Pertanto, potremo chiamar© (') la funzione f(x) in questo caso, come nel numero precedente, discontinua per x = a, e propriamente di 1' o. di 2' specie, secondochè tende o no, tanto a dritta quanto a sinistra di a, verso il limite + co o  co ; e così diremo f(x) generalmente continua nell'intervallo (m, n), se ha solo un numero finito di siffatte discontinuità.
   (1) Houel, Cours de Caletti Inftnitésimal (pagg. 119 e 120, n. 177). In questo caso, siccome, mentre tende ad « a dritta od a sinistra, la funzione cresce in valore assoluto e tanto pi.ù ispidamente quanto più x si approssima ad a, ma non salta mai da un valore finito ad altro sensibilmente diverso; cosi, secondo il Casorati (op. cit., pag. 196), si potrebbe rimuovere pure l'idea della discontinuità, supponendo che per x = a la funzione traversi oo (che, al pari dello 0, è confine fra'numeri reali positivi ed i reali negativi (104)). Allora, mentre x si allontana da a,f(x) dal valore oo ritorna a valori finiti, i quali possono essere positivi o negativi ; e sempre senza alcun salto, poiché non passa mai da uno ad altro valore assegnabile senza passare per tutti i valori intermedi; ciò in armonia anche con quanto si disfce nel citato n. 104. E cosi oziandio, mentre a; converge a £ co. Una funzione, a questo modo, potrebbe essere continua e finita o continua ed infinita.