LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 259
   §3.
   CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI (') FUNZIONE ESPONENZIALE E LOGARITMI.
   158. Data una funzione reale e finita f(x) in un intervallo finito (m, n), si dice che essa è continua per x = a o nel punto a (9), ove ha il valore f{a), quando il limite dei suoi valori, a destra ed a sinistra di a, è lo stesso ed è eguale ad f{a); ossia, quando f(a + h) ed f(a  h), per h = 0, hanno èome limite f(a).
   Quindi (135), se f(x) è continua per x  a, f{a + h) f(a) ed f(a  h) f(a) tenderanno al limite 0, mentre h converge a questo limite; cioè, ad un accrescimento infinitesimo, positivo o negativo, della variabile corrisponderà un accrescimento puro infinitesimo della funzione. Affinchè ciò avvenga, come è noto (135), per ogni numero differente da 0 e positivo o, dovrà esistere un numero differente da zero e positivo h, tale che, per tutti i valori di 8 minori di h, sia f(a ±8)  f (a) numericamente minore di a ; ossia, si dovrà determinare un intervallo (o  h, a + h), tale che, per ogni valore a + 6 od a  8 di a; compreso in questo intervallo, sia f(a± 8)  f(a) in valore assoluto minore di o.
   Invece, data ancora una funzione reale e finita f(x) in un intervallo finito (m, n), dicesi che essa e discontinua per x = a da unti parte di a, per esempio a dritta, allorché i valori f(a + h) di f(x) hanno un limite determinato diverso da f(a) (discontinuità di 1'specie); ovvero, non hanno limite determinato (discontinuità di 2* specie). Dicasi lo stesso, per la discontinuità a sinistra di a.
   Quando una funzione ha una discontinuità di la o di 2' specie da una parte di a, che non sia estremo dell'intervallo (m, n), dall'altra parte può essere continua od avere una discontinuità, sia di 1' che di 2a specie. In entrambi i casi della discontinuità, a dritta od a sinistra di a, non sara possibile trovare, per ogni valore positivo di a, un valore di h, tale
   (') Disi, Fonti, cit., pagg. 80, 31, 34, 39, 50, 51; Gehocchi-Peano, Lezioni di Calcolo, pagg. 8, 17, 18, i9> 23i 09; HorEL, op. cit., § II, n. 171, 172, 173, 174, 176, 177; Capelli e Gabbieri, Coreo di Analisi Algebrica.