258 CAPITOLO, IV.
   Un termine Un è funzione dell' indice n (45) ; se w è dato in funzione di n cioè Un ~ fin), ponendo successivamente n  0, 1, 2,.... si avranno quanti si vogliano termini /(0), f{l),f(2).....della serie. La serie prendo
   cedente si può indicare (52) scrivendo S w .
   n=l
   Indicando con s la somma ui + «« + ....+ un, dicesi somma o valore s della serie il limite di s per n crescente all'infinito: quindi, s=limsa. Una serie chiamasi convergente, divergente o indeterminata,
   secondochè il limite s è finito e determinato, è infinito o non esiste.
   Per ciò che precede (a) ), la somma dei termini di una progressione geometrica non arrestata è una serie convergente o divergente, secondochè la progressione è decrescente o crescente: in particolare, se la ragione q è eguale ad 1, si ha una serie divergente; se q  l, una serie indeterminata. Questa serie chiamasi geometrica.
   Condizione necessaria, per la convergenza di una serie, è che i suoi termini per n  oo abbiano per limite 0, ossia lini un = 0 ; perchè, es-
   11  co
   sendo un  sa  sn-1, sarà lim ua = ìim s  lim sn_i = s  s = 0. Ma questa condizione non è sufficiente: così nella serie (v. progressione armonica (43)) l + 7r + -5- + -r+____+  +____,siha evidentemente
   l o 4 n
   1 , . . -1 ^ 1 1 . 1^1
   . , -1--r-H +----+ 7T > n TT > oss5a   7 +----+ 77' > 77 >
   n + 1 n + Z 2 n 2 n n + 1 2 n 2
   per cui, uh numero infinito'di somme di termini analoghe a questa (così "
   si può riguardare la serie proposta) avrà per limite oo, cioè la serie è
   divergente.
   La ricerca di criteri speciali, per stabilire la convergenza delle serie, non è compito delle Matematiche Elementari.
   , ^ 1 v
   Esempi.  1°. E convergente la serie 2     , perchè, essendo
    n=i n(n 4-1)
   , , =  ----r , si ha sE  X--  r, e quindi lim s = 1.
   «(»4-1) n n + 1 »4 1 n=00
   n:
   2°. E divergente S n.
   n=i
   3°. È inderminata ' 2 ' ( 1)-.
   n=i
   4°. an + ba'-1 + b2au~2 + .... , ove a>&: serie geometrica con b . ,.  % a' o°4i
   q =  ; quindi, s =-r =--  % \
   a j_b_ a  b
   ~ a j
   5°. 0,43 4- 0,0043 -f 0,000043 4-.... : serie geometrica con 2 =
   43
   perwo, « = gg "