limiti delle funzioni e loro applicazioni. 255 < (1 + c)y . Ora, poiché 1 + o > 1, è noto (a)) che, per y > >  - -^-j, cioè per y > ^ si ha sempre (1 + o)y > a.
   lo 
   Adunque (55), semprechè  < a _ ^ , 1  ay< a; ossia, esi-\
   ste uft numero e = 0 1 , tale'che, per i valori di x dell'in-
   (X X
   torno (a, a + e) la differenza fra 1 ed ax diviene minore di qualunque numero piccolo a piacimento.
   Supponiamo invece che, essendo ancora a > 1, x assuma valori negativi crescenti verso lo 0; e poniamo x =  y: quando x tende a 0, anche y tende a 0, a7 per il caso precedente converge ad 1, e quindi (149) = ax ha per limite 1.
   Ove poi sia a < 1, ponendo a =  %j, si avrà b > 1 ed a1 =
   = b~x: per i casi precedenti, b~x converge ad 1, mentre x converge a 0 assumendo valori sia positivi che negativi. Dunque (146).
   156. a) Un numero irrazionale, definito come confine di un sistema di due classi C e D (8), è limite comune di queste : poiché, infatti, i numeri della classe C sono infiniti e crescenti, in modo che nessuno di essi sia maggiore dei rimanenti e tutti sieno minori di ciascun numero, della classe D, la classe C ammetterà un limite l (152); ed analogamente, la classe D avrà un limite l'. Ora dev'essere V  l ; perchè, ove si avesse V>1, essendo allora la differenza d  c, fra uno qualunque dei numeri della classe D ed uno qualunque della classe C, sempre maggiore di l' l, non potrebbe risultare d  c minore di un numero e piccolo a piacere, contrariamente alla seconda caratteristica del sistema di due classi; ed ove fosse V < l, ciò sarebbe contrario alla prima caratteristica del detto sistema.
   Per questo significato, un numero irrazionale è individuato da una sola delle due classi; e, basandosi sulla considerazione dei numeri irrazionali come numeri-limiti, si possono estendere i1) ad essi le regole note per il calcolo dei numeri razionali, il che supponemmo fatto mediante sistemi di due classi (18).
   « p. m., Définition et limite de la somme àlg., du produit, du quotient de plusieurs quantités incommensurables (Mathesis, t. XI, pagg. 63-66, 139-141, 248-251).