254 CAPITOLO, IV.
   parentesi converge a zero costantemente col segno di ai per il teorema dimostrato, f(x) convergerebbe a zero collo stesso segno di ai o col segno contrario, secondochè oc nell'intorno di 0 prende valori positivi o negativi.
   155. a) Quando x tende a + oo, a* {a > 0) tende a + oo od a 0, secondochè a < 1; e viceversa, quando x tende a.  oo.
   Infatti, se x assume valori positivi (interi), supposto « >1, poiché (73) a* 1 = (a  1) (a*-1 + a*'2 +.... + a* + a + 1), ove a*-1 >a*~2 >....> a>l, è chiaro che a1  1> (a  l).^,
   da cui (55) a1 > 1 + (a  l)x. Ora, se x >_ ^_,, sarà evidentemente 1 + (a  1) x >. a, e quindi ax > w: dunque, dato un numero positivo w grande quanto si voglia, esiste un numero co' = ^_, (135), tale che, per tutti i valori di x >_ tu',
   è ax > o). Quando poi, essendo sempre x > 0, è a < 1 ; ove si ponga a = j (b > 1), si ha ax = ^ = : e poiché, per il caso precedente, lim = + oo, sarà (140) lim ax = 0.
   X X +00
   Il caso, in cui x assuma valori frazionari positivi, si deduce dal precedente per il teorema 145.
   Se invece x prende valori negativi, posto x   y, si ha a1 =  : mentre x converge a  oo, y converge a + oo; e quindi, per il caso precedente, ay converge a + oo od a 0, secondochè a < 1: adunque (140) a* tende rispettivamente a 0 od a + oo.
   b) Quando x tende a zero a dritta od a sinistra, a1 (a > 0) tende ad 1, sia a > 1 od a < 1.
   Infatti, essendo a > 1, supponiamo che x assuma valori
   1 
   positivi decrescenti verso lo 0: si faccia x   . Se «r tende
   y
   al limite 1, si dovrà trovare un numero positivo e piccolo a
   piacere (135) tale che, per tutti i valori di  minori di e,
   sia sempre in valore assoluto 1  a7 < a, ovvero, trattan-
   dosi di valori assoluti, ay  1 < a od anche a7 < 1 + a____
   (1. Ma, essendo i due membri positivi, i valori di y, pei quali la (1 sussiste, sono quelli, per cui sussiste l'altra (55) a <