. , LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 253
   + oo ha per limite ossia (ritenendo ±00 come un nu-
   \ " 1, 001 a°
   mero), si ha = 7;
   2°. Quando m>n,
   -L  O. J a,a
   cp (a) = a° + m +" " " " +
   <];(») ~ b0 bi bn xm-n I' ajm-Cn-l) + ^m
   , , , «o , . ,

   che per x  ± 00 ha come limite -¡r = ± 00 ; cioè, 7-7-r- c = 1 0 ' (J) (± 00)
   = + co.
   1 Oo cti am
   4-  %
   3°. Quando m    y(x) _ xa-m ' x'
   che per x = ± co ha il limite r = 0: per cui ? [t = 0.
   Oo q> (± 00)
   Pertanto, mentre x converge al limite ± co la funzione razionale frazionaria . , , converge: 0 ad un limite finito, che è il quoziente dei
   4» M
   coefficienti dei primi termini del numeratore e del denominatore, quando il grado del numeratore è eguale al grado del denominatore, e lo 0, quando invece il grado del numeratore è minore di quello del denominatore; ovvero ad un limite infinito, allorché il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore, e questo infinito è positivo 0 negativo, se-
   eondochè > convergendo ad esso, prende costantemente valori positivi o valori negativi (139).
   c) Mentre x converge a zero per valori positivi 0 negativi, la funzione f (x) = a1xia + «.2«2'41 f____4- «m+1 xìn+m converge a zero col segno di a^. infatti, essendo f(x) = x2'a(ai 4-4- a3x + .... + am+1a;m), si ha lim f(x)  lini a?2ll(ai + as lim x 4-
   4-----+ am+i lim a?m); e poiché, sia x positiva 0 negativa,
   è x2a positiva ed inoltre la funzione in parentesi, mentre x converge a 0, tende al limite ax, evidentemente nell'intorno del limite 0 la funzione f(x) avrà il segno di «1, quale si sia il segno con cui x converge a zero.
   Segue da ciò che, se, per x = 0, f (x) = ai x''a H 4- a2x2a+2 + + + amx2n+m converge a zero con un segno costante, mentre x converge a zero per valori positivi 0 negativi, sarà identicamente at « 0; perchè, se fosse at , 0, avendosi f(x) = = x Uhx^ + a2x2^ 4 .... 4- a^x2^-1), ove la funzione in