limiti delle funzioni e lobo applicazioni. 251
   assurdo, perchè + -ìj (x intero e positivo) è sempre maggiore di 2,
   come si dimostra col teorema del binomio di Newton e come si può verificare in casi particolari.
   152. Mediante le proprietà 147-150 si può in molti casi effettuare il calcolo dei limiti finiti delle funzioni. Tuttavia, la ricerca dei limiti non raramente è molto difficile; ma spesso è necessario non calcolare il limite, sibbene dimostrare l'esistenza di un limite finito e determinato, e perciò giova il teorema : Se, mentre x tende ad a od a + co, la funzione f (x) cresce (decresce) sempre in valore assoluto, ma si mantiene costantemente minore (maggiore) di un numero finito k, f (x) converge ad un limite, che è k od un numero finito diverso da 0 e minore (maggiore) di k.
   Supponiamo, infatti, che f(x) in valore assoluto cresca sempre. Tutti i numeri possono essere distinti in due categorie: l'una dei numeri maggiori in valore assoluto dei valori di f [x), ai quali per l'ipotesi appartiene k, e l'altra dei numeri non maggiori dei valori di f(x). Tutti i numeri della prima categoria sono minori di tutti quelli della seconda. Quindi, come è noto (8), le due categorie individuano un numero l (razionale od irrazionale), eguale aio minore di k e tale che non è sorpassato dai valori di f(x), mentre ogni numero inferiore ad l è superato da questi. Dico che l è il limite di f(x): ed in vero, essendo « un numero piccolo a piacimento, l  a sarà superato da qualche valore di f(x) e quindi anche, per l'ipotesi, dai successivi; cioè, da un certo valore di x in poi, si avrà sempre l  a    Analogamente si ragiona nel caso, in cui f{x) decresce sempre in valore assoluto.
   153. Chiamansi limite superiore e limite inferiore (in particolare, massimo ¡a e minimo fi,') di una funzione, sempre finita in un dato intervallo, rispettivamente i limiti superiore ed inferiore (in particolare il massimo ed il minimo) dei valori assunti dalla funzione nello stesso intervallo (31).
   Tenendo presente quanto si disse nell'ora citato n. 31, si vede che tanto il limite superiore, come il limite inferiore ,non però, in generale, il massimo ed il minimo) di una fun-