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   CAPITOLO IV.
   f (x)
   lim  7-4 d'ordinario per convenzione si considera come valore del se-
   , 0 00 condo membro 7- od  " 0 00
   150. Il limite della potenza nma di una funzione, la quale abbia un limite finito e determinato, è eguale alla potenza nma di questo limite, semprechè n sia un numero razionale (intero 0 frazionario, positivo 0 negativo). Infatti, supponendo dapprima n positivo, per il teorema 148 si ha subito: lim f(x)a  = lim [f(x) ,f(x) ..../ % (a;)] = lim f(x) .lim f(x).... lim f(x) =
   1 2 n 12 n
   = [lim f(x)]a, se n è intero, ed in questo caso non può dubitarsi dell'esistenza del limite di f(xY, ove esista quello di
   f{x)\ quando poi n è frazionario ed eguale ad , supposto
   A A
   che esista il limite l di f(x)*, sarà (143) f{oc)w = l + a, da
   cui (55)f{ooY= (l + o)k, e quindi lim f{x)h = lim (l 4 a)k, donde
   (caso precedente) [lim f(a>)]h = [lim (¿4a)]k cioè [lim f(a;)]h = Zk,
   h
   e finalmente (143) l = [lim/'(¿e)]k . Quando n sia negativo, si ha successivamente per la definizione di potenza negativa, per
   il n. 149 e per il caso precedente: lim f{x)~u  lim ^=
   = lim f(x)a = [lim/ %(«)]' = [hm
   151. I teoremi dimostrati nei nn. 146-150 esigono che le funzioni abbiano limiti determinati e finiti, essendosi fatta solo qualche estensione ai limiti infiniti; inoltre i teoremi 147, 148 e 150 suppongono che si tratti di un numero finito di funzioni. Quando le funzioni sieno in numero infinito, i teoremi 147, 148 e 150 alcune volte sussistono sotto certe condizioni, alcune altre volte non sono veri; perchè la somma ed il prodotto di infinitesimi non convergono necessariamente a zero, mentre il loro numero tende all'infinito. Pertanto, applicando anche nel caso del numero delle funzioni infinito i teoremi precedenti sui limiti delle somme, prodotti e quozienti, possono dedursi conseguenze non vere.
   Esempi.  1°. È chiaro che si ha identicamente 1 +  =  4---1-
   1 1 \ . 2.
   + .... -t--: ora, se x cresce all'infinito,  = 0 (140), per cui in virtù
   x x
   n+1
   del teorema 147 si avrebbe l'assurdo 1 + 0= 04-0 + .... 2°. Per x intero e positivo, sarebbe dietro il teorema 150
   lim (l + -) '= lim il +  ,. lim (l + -
   X 05 v x=    = 1 :