. , LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 249
   In particolare, se cp è un'espressione costante diversa da 0, ovvero è indipendente da x e non può assumere il valore 0, e se inoltre f(x)
   f (x) 1
   ha un limite determinato e finito, per il n. 141 sarà lim '-  i   lim f{x) :
   f(x) 9 ?
   quindi, allorché lim f (x)  0, anche lim -i-~=0 (135). Analogamente,
   se f è un'espressione costante e cp (x) ha un limito determinato e finito
   diverso da zero, sarà lim = -   ; quindi, lim  - -.
       Quando si verifichi l'eccezione fatta ' che 9 abbia per limite 0 
   ed inoltre il limite di f sia finito e diverso da zero, poiché allora la
    % . flx)
   funzione frazionaria - cresce sino a divenire maggiore di qualunque
   f
   nùmero dato grande a piacimento, sarà (135) lim , , = ± 00, secon-
   f(x) 9 (*)
   dochè  è costantemente positiva 0 negativa mentre x converge al
   limite. Quindi, essendo, per la convenzione del n. 139,  ± 00, si può
   togliere la restrizione posta nel teorema di questo numero, che cp non abbia per limite 0 (purché però il limite di f sia finito e diverso da 0): in
   m (x) 0
   armonia col risultato lim =  , se lim 9 (x) = 0 e lim f (x) = l. Ana-T w '
   logamente : a) quando f tendesse al limite infinito e 9 al limite finito l
   f
   (diverso da zero), si avrebbe ± 00 per limite di  ed il quoziente dei " . . 00
   limiti sarebbe appunto  = ± 00 (141); b) quando f convergesse ad un
   limite finito (diverso da 0) o

   f l di  od il quoziente dei limiti sarebbe appunto + ^ = 0 (140).
   Se simultaneamente f e cp tendono al limite 0, cioè divengono infinitesimi, il loro quoziente (143) potrà o no avere un limite determinato
   (finito od infinito) : in corrispondenza, il quoziente dei limiti  , che per
   sé stesso non ha significato, può 0 no rappresentare indeterminazione (50). Ove infine f e cp convergano insieme al limite ± 00, il quoziente
   dei limiti  , che per se stosso è illusorio, può significare indeterminazione, giacché è una forma dell'altro ~ : infatti, essendo -7 = ~ , se
   0 00
   l  V 0, si ha dal primo membro  e dal secondo  (139). Pertanto,
   0 00
   neanche in questo caso, il teorema, ora dimostrato per il limito di un
   quoziente, potrebbe sussistere.
   In entrambi gli ultimi casi, non il secondo membro, ma il primo