248 CAPITOLO, IV.
   3° il teorema è vero pure, quando le f, tutte od in parte funzioni di x, abbiano un prodotto costante c : perchè, potendosi allora porre c   h h ... .1« eguale ad un prodotto di cui almeno un fattore è infinitesimo, la costante e  Uh.. ..! non potrà essere che zero, e quindi identicamente (55) c = hh .... la.
   Benché la dimostrazione data supponga finiti i limiti delle f, come vuole l'enunciato di questo teorema; tuttavia, si potrà ritenere sussista il teorema anche nel caso che una o più delle f convergano a ±.oo, quando però si convenga di dare al limite oo, risultante per il prodotto, il segno opportuno, che è quello col quale converge all'infinito Io stesso prodotto (139). Ma, se alcune (in particolare una) delle f convergessero a + oo ed altre (in particolare una) tendessero a 0, si avrebbe, per il prodotto dei limiti, il simbolo destituito di significato oo .0: in questo caso, è invece lim f (x) che si assume d'ordinario per il valore di co . 0, come osservammo (140) e vedremo in seguito.
   149. Il limite del quoziente di due funzioni, le quali abbiano limiti finiti e determinati, esiste, semprechè il limite del divisore sia diverso da zero, ed è eguale al quoziente dei li-
   f (%)
   miti delle stesse funzioni. Infatti, dato il quoziente se
   h ed 4 sono rispettivamente i limiti delle due funzioni f e cp, per x = a o per x ± co, ed è 4< 0; ponendo (143) f(x) 
   7 - t \ 1.0 - f M ll 11+ a ll iggLzM = h + a, cp (x) = k + Bara £ = p £ = '
   Ora, indicando con l\, l'i, a, ¡¡' rispettivamente i valori assoluti di ti, li, oc, P e con m un numero positivo minore di V2, possiamo supporre (143) fi numericamente minore di m, cioè i' < m : per conseguenza, sarà in valore assoluto 4 + P mag-
   ,, ... 4 a  h ,5  r2a' + l\ 3'
   giare di lt-m; e quindi ossia
   4 a  h3 , a l\3' ut J "
    77 < 57-----1- 77 777-v. Ma se ad x si da un va-
   4(4 + 3) 12 m lz(l 2  m)
   lore tale che sieno a' < [l'i  m) e ¡3' < j^r (l'i  m), ove a
   indica un numero piccolo a piacere, cip che è sempre possibile, perchè a e p sono infinitesimi; ossia (55), se ad x si
   dà un valore tale che 77  < % ed ,, ¡Ì1^ , < % : al-l a  m 2 12 (/ 2  m) 2
   » IW'\- V$ . f(x) k . ,
   lora' &l'z{m'i  m) < 6 qmndl Adun3ue>
   fW li