. , LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 247
   3' il teorema è vero pure, quando le f tutte funzioni di x (o in parto espressioni costanti) abbiano una somma costante c; perchè, avendosi allora c  (h + h -r----+ D = 4- «2 +____4- «n, la costante c 
    (Zi + ¿2 4- .... 4- L) non potrà essere che zero, e quindi identicamente (55) e = h 4- h +----4-h.
   Benché la dimostrazione data supponga finiti i limiti delle f, coinè vubl0 l'enunciato di questo teorema ; tuttavia, si potrà ritenere sussista il teorema anche nel caso che una o più delle f convergano insieme a -j- co od a  -co (cioè: crescendo all' infinito assumano lo stesso segno) : ed in vero, in questo caso, la somma di tutte le f avrà per limite ± 00 (139). Ma, se alcune (in particolare una) delle f convergessero a + 00 ed àltre (in particolare una) tendessero a  " 00, si avrebbe per la somma dei limiti il simbolo destituito di significato (139) 00  00 : allora, è invece lini f (x) che si assume d'ordinario per il valore di 00  00, come notammo (140) e vedremo poi.
   148. Il limite del prodotto di un numero finito di funzioni, ciascuna delle quali abbia un limite finito e determinato, esiste ed è eguale al prodotto dei limiti delle stesse funzioni.
   Siano dapprima due le funzioni: f (x) = fi{x) ,f2(x). Essendo k ed k i limiti di fi ed f2, per x  a o per x = i. oo, potremo porre (143) fi = h + a, f2 = k + £1: quindi f(x) = = (h + a) (k + ¡3) = hh + ha. + + «¡3, da cui f(x)  hk = = Ua, + + Ora, se a è il maggiore dei due infinitesimi a e fi, indicando con a un numero piccolo a piacimento, diamo ad x un valore tale che a, e quindi a fortiori [3, prenda
   un valore minore del più piccolo dei numeri
   essendo ¡3 < a < , si avrà a(3 < ^ ; e poiché a < , sarà (55) h    Se poi f (x) = fi (x) .fi (x)____fa (x), ove n indica un numero finito, si ha successivamente, per il caso ora dimostrato di due fattori, lim f(x) = lim f\ (x) . lim [f2 (x)____fa (#)] =
   - lim fi (x). lim f2 (x). lim [f8 (x)----f (a;)] = .... = lim fi (x).
   . lim f2 (#). lim f3(x)____lim fn (x). Adunque, il teorema è vero
   in generale.
   Dalla dimostrazione fatta rilevasi che:
   1° il prodotto di un numero finito di infinitesimi è pure un infinitesimo (143);
   2° il teorema sussiste, anche se una od alcune delle f sono espressioni costanti; per cui, in particolare, essendo a un infinitesimo e cp un'espressione costante, anche epa è un infinitesimo;
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