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   capitolo, iv.
   tesi possono divenire minori di (se e indica un numero
   piccolo a piacimento), potrà rendersi (55) l  tp(x)    In particolare, quando due funzioni assumono valori eguali ciascuno a ciascuno, se una di esse ha un limite, anche l'altra ha lo stesso limite.
   Allorché una funzione f(x) assume valori sempre compresi fra quelli assunti dalle due funzioni cp(x) e ò (x). se queste hanno uno stesso limite finito e determinato 1, anche f(x) ha per limite 1. Infatti, per la prima parte dell'ipotesi si ha sempre ? (#) < f(x) < ^ (#)> da cui (55) cp (x)  l < f(x)  
   ma perla seconda parte dell'ipotesi è y(x)  1< a, (x) 
    ove a e P sono infinitesimi (143) : dunque, o f{x) 
    I < a o f{x)  l < 3, cioè lim f{x) = l (135).
   147. Il limite della somma algebrica di un numero finito di funzioni, ciascuna delle quali abbia un limite finito e determinato, esiste ed è eguale alla somma algebrica dei limiti delle stesse funzioni. Se /ì (x), f¡¡ (x),____, fn (x) hanno rispettivamente i limiti finiti e determinati h, k,...., L per x  a
   o per x = ± co, sarà (143) /i (x) = k + ai, fa (x)  l¡¡ + ......
   fn (x) = L + a ; e quindi, la sommai delle n funzioni: f{x) = = {li + k + .... + L) +(ai + as + .... -I- a ), da cui (55) f(x) 
    (¿1 + ¿2 +----+ In) = ai + a2 +----+ a . Ora per ipotesi,
   mentre x converge ad a crescendo 0 decrescendo 0 mentre x converge a ±co, ciascuno degli infinitesimi a, in generale differenti fra loro, diviene minore di qualunque numero arbitrariamente piccolo: consideriamo il valore di x, per cui il
   maggiore degli a sia minore di  , ove o indica un numero
   íí
   piccolo a piacimento; allora evidentemente <*i + oca + .... + + aa < n , e perciò f(x)  (h + l¡¡ + .... + L) < a. Dunque (135): lim f(x) = h + U + .... +
   Dalla dimostrazione fatta rilevasi che:
   Io la somma di un numero finito di infinitesimi è pure un infinitesimo; 2° il teorema sussiste, anche se una od alcune delle f sono espressioni costanti, le quali hanno come limiti se stesse ; quindi, in particolare, essendo a un infinitesimo e cp un'espressione costante, nel limite per x a o ±oo si ha 9 + a = cp ;