. , limiti delle funzioni e loro applicazioni. 245
   e circoscritti (*); piano tangente ad una superficie conica (2) (in particolare cilindrica) e sferica (3); cono di vertice dato circoscritto ad una sfera (4) ; la parabola come limite dell'ellisse (5); ecc.
   145. Tina funzione f (x) non può convergere a due limiti diversi, per uno stesso valore finito od infinito della x (6). Infatti, supponiamo che f(x) tenda ai due limiti finiti e diversi l ed l'\ mentre x converge al limite a, a dritta od a sinistra, ovvero al limite ± oo. Per il n. 143, si potrà porre f[x) = = Z + «, fix) = V + a'; quindi l + oc = V + a', da cui (55) l 
    l' a!  a: la quale identità è assurda, perchè il secondo membro può essere piccolo a piacimento (e sarebbe 0, quando si volessero supporre a ed a' eguali), mentre il primo membro è un numero costante, finito e diverso da zero, essendo l ed l' diversi e finiti.
   È poi evidente, per le definizioni di funzione (45) e di limite infinito (135), che f(x) non può tendere ad un limite finito e ad un limite infinito, ovvero a + oo ed a  oo, nè simultaneamente nè successivamente, mentre la'x per una stessa successione o per successioni differenti converge sempre allo stesso limite.
   Risulta da questo teorema che, qualunque sia la successione di valori dati alla x, mentre converge al limite, e per conseguenza quale si sia la successione dei valori assunti da f (x) nel convergere ad un limite, questo non varia, come già si è notato (138).
   146. Quando due funzioni f(x) e cp (x) assumono valori, che si corrispondono ciascuno a ciascuno, in modo che le differenze di due valori corrispondenti formino una successione avente per limite zero; se una delle funzioni f (x) ha un limite finito e determinato 1, anche l'altra cp (x) ha per limite 1. Infatti, essendo identicamente l cp(x)  [ì  f{x)ì + [f(x) 
    cp (x)], ove entrambi i termini del secondo membro per ipo-
   0) Baltzeh, Planimetria, § 7, n. 5 e § 9, n. 4; Rouché et db Combeeocsse, Traiti de Géométrie élémentaire, nn. 289, 2P' 447 e 448.
   (2) Vedansi: la mia Geometria Descrittiva Elementare, Parte Prima, nn. 49-52; Baitzek, Stereometria, § 3, n. 2. id. nn. 736, 737, 750, 873, 881.
   (3) Baltzer, Stereometria, § 3, il. 5. Id. nn. 785, 787.
   W »  § 3, n. 6. Id. n. 788.
   (5) Vedane! : la mia Geometria Descrittiva Elementare, voi. ii, Appendice II, Rouché et de combekotisse, n. 1074.
   (6) Si suole scrivere da alcuni trattatisti che f (x) non può tendere contemporaneamente o simultaneamente a due limiti diversi: ma f (ae) non può avere limiti diversi nfe s muitaneamente, nè successivamente, semprochè si dieno alla x successioni convergenti ad uno stesBo limite.
   fez