limiti delle funzioni e lobo applicazioni. 235
   4, 5,.... , f (" ») assume valori alternativamente reali ed immaginari. Se
   \ 111
   invece si fa percorrere ad x la successione ,...., f(x), sem-
   6 o 4
   pre reale, attraversando la successione 2,  3, 4,  5...... compie
   oscillazioni, le cui ampiezze 5, 9.....crescono sino a divenire maggiori
   di qualunque numero dato, ed f(x) diviene maggiore di numeri grandi a piacimento, senza che possa dirsi per ciò, in base alla condizione d) n. 135, che converga al limite + oo od all'altro  co. In questo caso quindi, il limito di f (x) non è determinato.
   139. Da quanto precede risulta che il limite di f{x) per x = a a dritta od a sinistra dipende soltanto dai valori di f(x), che si hanno per x vicinissimo ad a, cioè per x variabile nell'intorno (a, a + 0) od (a  0, a), a escluso, e non già dal valore speciale f(a) di f(x) per x = a-, mentre solo dal valore a di e non dai primi in alcun modo, dipende f(a).
   Quindi, il limite di f(x) per x = a a dritta od a sinistra ed f{a) non sono due numeri necessariamente eguali, quando esistano entrambi: in questo caso, potranno essere eguali (138,1° per x  0) o disuguali, come del resto possono essere fra loro eguali o disuguali i limiti a destra ed a sinistra di a [eguali: 138, 1° per x  0, 2° per x.  oo, 3° per x = oo ; disuguali: 2° per x  0]. Ma potrà avvenire che esista il limite di f(x) a destra od a sinistra di a, mentre non esiste ossia non ha significato (188, 2°) f(a); ovvero che esista f(a) e non il limite.
   Del resto, ingenerale all'idea di limite si annette quella di non poter raggiungere il limite stesso.
   Così, ad esempio, data f(x)   , se x converge al nu-
   se
   mero positivo -f a a dritta od a sinistra, la funzione  tende
   X
   i^l limite 1 ovvero al limite  1, secondochè in essa a è positivo o negativo; perchè, quando a è positivo, siccome x per ipotesi assume valori positivi tanto nell'intorno a 4- e, quanto nell'altro a  p, così si vede che, per ogni valore di x minore
   di e'= . , è 1  < s (135, a)): il limite poi nel caso
   * E CC
   di a negativo, supposto sempre che x converga a + a, si deduce mediante il teorema del n. 28. Inversamente, quando x tendè al numero negativo  a. In questo caso, adunque, il