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   capinolo iII.
   137. Può avvenire che/'(.r) abbia uno stesso limite, finito od infinito, tanto allorché x converge al limite finito a a sinistra, come allorché x converge allo stesso limite a dritta; e può invece avvenire che f(x), a dritta di a, abbia un limite ed, a sinistra di a, un limite diverso.
   Spesso, per la natura della quistione che si tratta, si conosce il senso secondo cui il limite di f{x) deve prendersi, cioè se a destra od a sinistra di a, se per x   o per x = + oo ; ovvero si sa che la considelazione del senso del limite è indifferente. D'ordinario, si pone in evidenza il senso del limite, solo quando ciò sia necessario per evitare equivoci: pertanto, in generale, nei quattro casi considerati (135) si scrive, in un modo compendioso, rispettivamente
   lim f(x) l, per x=a-, ovvero lim f(x)=l; od anche limf(x)x=* l.
   xc=a
   lim f (x) = t °° ' per x = ± oo lovvero analogamente agli al-lim A*) = ± oo, per x = ± oo J tn 2 modi superiori;
   e talora si omette anche il segno del limite oo della x.
   x -4- 3
   138. Esempi.  Io. f(x) =- r. Se si fa crescere all'infinito la x
   1 K ' »4-4
   per i successivi numeri interi positivi (logge di variazione della x), se, cioè, si da ad x la successione discreta di valori 1, 2, 8, 4, ...., che ha per limite 4- °° (32), f(x) assume in corrispondenza la successione cre-4 5
   scente di valori  ,  ,____, la quale tende al limite 1 (30, 2°) : quindi
   o o
   x ->- 3
   lim -7 = 1. Se invece si fa convergere la x al limite  oo per i
   »=+« x + 4
   numeri interi negativi  5,  6,  7, .... , f[x) assume la successione
   decrescente di valori y , > -g- > ...... la quale converge pure (30, 3°)
   al limite 1. Pertanto la funzione proposta ha come limite 1, sì per x = 4- oo che per x =  oo. E si noti che, qualunque sia il gruppo di valori dati alla x, purché convergente al limite ± oo, f(x) tenderà al limite 1, come dimostreremo in seguito (145): del resto, applicando di-
   »4-3 1
   1 rettamente la condizione e) n. 135, vedesi che 1--¿ =-7 è
   »4-4 »4-4
   minore di un numero dato arbitrariamente piccolo a, ciò che verificasi
   1  4a
   facilmente, per tutti i valori di » numericamente maggiori di -,
   '0
   appartengano essi alla serie precedente dei numeri interi o ad altra ; cioè, come vuole la condizione detta, per un numero arbitrariamente piccolo ma diverso da zero e positivo o, esiste in questo caso un numero