limiti delle funzioni e lobo applicazioni. 231
   * E si noti che propriamente in questo caso il limite di f(x) è + oo o  oo, secondo che f(x), per i valori di x fra a ed a + b (a escluso) ha sempre il segno + o sempre il segno  .
   e) Se f{x) tende al limite finito l (in particolare 0), mentre x tende al limite ± oo, per un numero dato arbitrariamente piccolo ma diverso da 0 e positivo a esisterà sempre un numero to', positivo quando x cresce all'infinito e negativo quando x decresce all'infinito, e cosi grande numericamente che, per tutti i valori*di x nell'un caso maggiori e nell'altro minori di w', sia sempre l  f(x) < a.
   d) Se infine f(x) ha per limite ± co, mentre x tende a ± oo, allora, per ogni numero arbitrariamente grande e positivo co, esisterà un numero pure arbitrariamente grande to' positivo o negativo, secondo che x cresce o decresce all'infinito, e tale che, per ogni valore di x nell'un caso maggiore e nell'altro minore di w', sia sempre in valore assoluto f(x)> w.
   Anche qui, come nel caso b), si deve notare che f(x) converge a 4- oo od a oo, secondo che f(x) ha sempre il segno + od il segno  per tutti i valori di x maggiori numericamente di tò'.
   136. Allorché avviene che, mentre x tende al limile a od al limite oo, a dritta od a sinistra in entrambi i casi, f(x) varii in modo che non sia soddisfatta alcuna delle condizioni contenute nel numero che precede, si dirà che f(x) non ha limite determinato.
   Così, ad esempio, non è soddisfatta la condizione del comma b) n. 135, se, per quanto piccolo si prenda il numero s, la f(x) sia in valore assoluto ora maggiore, ora minore di un numero u> arbitrariamente grande, per i valori di x dell'intorno (a, a ± e), benché prenda valori numericamente maggiori di numeri dati ad arbitrio molto grandi ma minori di w. Quindi, in questo caso potremo dire che f(x) non ha limite determinato per x  a a dritta od a sinistra (36).
   Si potrebbe dimostrare che, se, mentre x si avvicina sempre ad a a destra od a sinistra o cresce indefinitamente, la funzione f(x) non ha limite determinato, la successione dei valori assunti da f(x) (e si può quindi dire anche f (x)) oscilla (27) continuamente. Quando f(x) si mantiene finita, le oscillazioni (od almeno alcune) hanno ampiezze determinate, diverse da zero; quando invece f (x) finisce per prendere anche valori' maggiori di qualunque quantità data (senza che però possa dirsi che ha per limite l'infinito), le oscillazioni finiscono per avere un'ampiezza maggiore di qualunque numero dato ('). Ne esamineremo qualche caso (138, 6°).
   (') Dini, Fondant, n. 21, pag. 30