equazioni ed inequazioni.
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   fatti può accadere che il sistema (2, od uno degli altri dedotti, non ammetta soluzione (finita), senza che per ciò possa concludersi che neanche il dato ha soluzione.
   131. Con adatti cangiamenti di incognite, con la combinazione dei metodi di eliminazionè precedentemente esposti e sovratutto con adatte trasformazioni ed artifizi di calcolo (l), talora da sistemi interi di grado superiore e di tipi non noti, da sistemi frazionari e da sistemi irrazionali, si possono ottenere sistemi interi, che si sanno risolvere. Così, alcune volte pure, qualcuna delle equazioni risulta ad un'incognita sola e quindi se ne possono trovare le radici, ove appartenga a tipi noti.
   Esempi (2).  Io. Dal sistema x'¡ 4- y'1 = a, xy  6, per il n. 129 si ha x2 + y2 + 2xy  a + 2b, cioè x + y = ± Va + 26; e quindi i sistemi parziali di tipo noto (127): xy = 6, x 4- y = + V» 4- 26 ; xy  b,x + 4- y   i a 4- 26. Si potrebbe anche dedurre dalle equazioni date l'altra x2 4- y2  2xy => a  26, cioè x  y = ± Va  26, per cui si avrebbero i quattro sistemi lineari
   x fy=Vo4 26 x y=Ìa 26
   ovvero potremmo innalzare al quadrato la seconda equazione, cosicché x2y2 = 62, e poi calcolare x2 ed y2 mediante l'equazione quadratica ausiliaria u2  au 4- 62 = 0 : in quest'ultimo modo, si può operare anche sul sistema x2  y2 = a, xy  b.
   2°. x2  ax -f by, y2= ay 4- bx. Si ha x2 y2 = a (x  y)  b (x y), donde (x  y) [(x 4- y) (a  6)] = 0 ; risultano quindi i sistemi : x2  «=» ax 4- x  y = 0 ; x'2= ax + by, x + y  (a  6) = 0.
   3°. ax2 4- bxy 4- cy2-= d, a'x2 4- b'xy 4- c'y2=d'. I due membri sono funzioni omogenee di secondo grado e quindi il sistema può risolversi
   x+y= Ìa±2b 'x y  Ìa 2b
   v~\-y  V°4-26 x\-y= Va4-26 v y= V« 26 x y= ya 26
   (!) Non si hanno criteri sicuri e pratici, clie sieno preferibili alla verifica diretta mediante sostituzione, per stabilire se ed in quali casi, moltiplicando o dividendo membro a membro due equazioni di un dato sistema S di n equazioni simultanee o combinando poi I-equazione risultante con n  1 equazioni di S, si ottenga un nuovo sistema equivalente al proposto. Vedasi Martini-Zuccaoni, Sull'Equivalenza dei Sistemi, Livorno, Belio rte, 1898.
   (2) Vedansi anche gli esempi 24°, 25°, 26°, 27°, 28°, 29°, 30°, 31°, 32°, 33°, 34°, 35°, 36° del n. 20 dell'Introduzione ai miei JProblemi Elementari,
   Nell'esempio 32° dei P. E, prima di procedere nel modo indicato, si potrebbe pas-
   x y
   sare ad un sistema di equazioni omogenee colla posizione x=  » operando
   cos\ per altri sistemi, questi si possono anche combinare come è detto nel n. 129 a), dopo aver moltiplicato una delle equazioni per una funzione