equazioni ed inequazioni.
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   arlf...., xa e da altre equazioni con le w  1 incognite x%,..., n»" Operando sul sistema formato da queste ultime, come sul dato, e così di seguito, se il sistema proposto è costituito da n equazioni, risulta un nuovo sistema lineare, che equivale al proposto ed ha la forma: /ì (xi, ...., xa) = 0, f3 (x2,...., # ) «= 0, . . . . , /n 1 (Xu-1 , X -l , Xn) = 0, fn-1 (iC _, , Xn) = 0, fa{xn) =0. Ricavato da quest'ultima equazione il valore x'n di xa che la soddisfa, si deve risolvere l'equazione fa-i [xa-i, xra) = 0, che da x'n-i; sostituendo x\ ed x\-\ in fn_2 = 0, si risolve questa rispetto ad x -2: così continuando, si ha la soluzione (x\, xr2,____, x'n-i, x'n) del sistema proposto.
   Sarebbe troppo laborioso eliminare successivamente tutte le incognite, eccettuata ad esempio x -i, per avero un'equazione in xn-i, che dia il valore di questa incognita, come si è ottenuto quello di xn; e cosi per x*-2, xn-3,...., xi.
   Pei sistemi di grado superiore al primo, il teorema precedente, su cui si fonda il metodo di riduzione, più che ad eliminare un'incognita (il che allora non è sempre possibile con esso) od una sua potenza, come negli esempi 3°, 4°, 5°, 6° e 7°, viene applicato per dedurre equazioni di tipi noti, da sostituirsi in luogo di alcune del sistema preposto, come vedremo meglio in seguito (131): nell'esempio 3°, per eliminare la x, si è prima eliminato il suo quadrato col metodo di riduzione e quindi la prima potenza col metodo di sostituzione.
   Per i sistemi costituiti, totalmente ovvero in parte, da equazioni frazionarie od irrazionali, rare volte si può eliminare un'incognita, eliminando una sua funzione, come negli esempi 4°, 5°, 6° e 7° precedenti, prima di aver ricavato, dalle equazioni non intere di quei sistemi, equazioni intere equivalenti o semiequivalenti alle prime: in generale, è necessario questo passaggio.
   Anche usando del metodo di riduzione, può avvenire che, mentre si elimina un' incognita, se no elimini pure un'altra o più altre (comma e) n. 128), per la forma speciale delle equazioni su cui si opera: allora, còme pure nel caso in cui le equazioni del sistema non contengano tutte le incognite, si otterrà il sistema risolvente con un numero di eliminazioni minore di quello indicato nel caso generale.
   Esempi.  lu. x + y z a, x y+z = b,  x + y + z = c. Sommando membro a membro la prima e la terza per eliminare la x, si elimina anche la z e risulta: 2y = a + c; così, eliminando la x fra la seconda e la terza, si elimina anche la y e si ha : 2z = b + c. 11 sistema risolvente è dunque : x + y  z = o, 2y = a + e, 2z  b + c.