equazioni ed inequazioni.
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   alcuna delle equazioni del sistema dato; adunque, per l'equivalenza di due sistemi, non è necessario che le equazioni dell'uno sieno rispettivamente equivalenti a quelle dell'altro (106).
   Esempi.  " 1 aix + fay + ci = 0, Uìx 4- fay + ci = 0. Invece della seconda equazione, ad esempio, possiamo considerare l'altra  ai (aix + biy+ fi) + «i fax + fay + ci) = 0, dalla quale si ha (aife  atfa)'y 4-4- (aiCi  a2ci) = 0; ossia, il sistema proposto è equivalente all'altro aix + fay 4- ci  0, (aibì  «261) y + (aiCi  «2C1) = 0. L'ultima equazione contiene un'incognita sola: risolvendola, si avrebbe il valore noto
   y'===   di y (109); e sostituendo 1/ nella prima equazione del
   sistema, si ricaverebbe il valore x', pure noto, di x. Col metodo di riduzione si è dunque eliminata la x fra le due equazioni date, determinando così un sistema risolvente, che equivale all'altro del n. 127: con questa differenza però che, nel sistema del n. 127, determinato il valore y' di y, bastava sostituire per avere il corrispondente di x, mentre qua, trovato y', devesi risolvere l'equazione aix + biy' + Ci  0;; ma potrebbe anche eliminarsi y col metodo di riduzione e poscia risolvere l'equazione risultante (aifa  azoi) x + (a fa  C2&1) = 0.
   2°. Nel sistema dell'esempio 2° n. 127, se si elimina la x fra la prima equazione e la seconda e poi fra la prima e la terza (ovvero fra la seconda e la terza), moltiplicando, come vedesi sotto, per i coefficienti segnati a fianco, si hanno le due equazioni a dritta; considerando le quali, ad esempio invece della' seconda e della terza, risulta Un sistema equivalente al primitivo.
   «1 x+bi y+ci z-Mi=0 aìX+fay+C'iz+di^    i ' («ife aibi)y+((tiC2~gseiJz-Haicfe «2di)=0 1 j 0, («1&3 a3bi)y+(aiC3-aiCi)z+(aid3-aìd\)=§.
   Se si elimina allo stesso modo la y fra le duo equazioni trovate (moltiplicando la prima por hi =  (aife   % 0361) e la seconda per fa = aifa   a^fa e sommando membro a membro), risulta, fatte le riduzioni, una equazione colla sola z, elio può considerarsi, ad esempio, invece della terza. Si ha così il sistema risolvente:
   mx + fay + ciz -t- di ~ 0
   (nife  aifa) y + («icj  nasi) 3'4- (di¿2  aidi) = 0
   [ci (0263  «362) 4- f2 (ci3fa  «163) + i*3 {(libi  fl2&l)] Z 4-
   + [d'i (afa  azfa) + di (aifa  aifa) 4- ih (nife  a2Ji)] = 0.
   3°. aix2 4- faxy 4- c,y2 4- dix 4- ciy + fi  0, aiX2 4- faxy 4- Cìy2 4--+- dìx 4- e>y + fì  0. Ordinando i primi membri rispetto alla x, aix2 4-+ (iiy + di) x + (ciy2+ ery + fi) = 0, aìX2 4- (fay + d2) x + (ay2 + enj 4-+ fì) = 0; queste possono scriversi: ax2bx+.C  0, a'x2 + bx + 4- c' = 0, ove a ed a', b e b', c e c' sono funzioni della y, rispettivamente dei gradi 0, 1 e 2. Se si applica il teorema precedente (fa =  a',  %Vi = a), si ottiene : (ab'  ' a'b) x 4- (acf  a'c) = 0 ; e quindi il sistema