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   capinolo iii.
   là, oltre alle soluzioni del sistema aix-\- fay + c, = 0, mx +'ny + p  0, ammette quelle (infinite) dell'equazione mx 4- ny + p  0 ; e se invece ax2 + bxy + cy2.4- dx 4- cy + f è il prodotto (aix 4- fay 4- Ci) (aiX ~h + fay 4- c2), il sistema del detto esempio 3° ammette come soluzioni quelle dei sistemi aix 4- fay 4- ci = 0, mx 4- ny 4-jp = 0; atx -f fay 4-4- Ci = 0, mx 4- ny 4- p = 0. Analogamente, si hanno sistemi parziali dall'esempio 4° del n. 20 dei P. E., se uno od entrambi i primi membri si possono scindere in fattori (x).
   A conferma delle conclusioni del n. 128 c), si può osservare che, nel passaggio da un dato sistema di equazioni frazionarie, ad esempio due Pi (xi, xì) = 0, Fa (xi, Xi) = 0, ad un sistema intero, effettivamente si moltiplicano Fi ed F2 per due funzioni (fi e cp2 : siccome il sistema    Fi = 0, Fa = 0, i = 0,    così, perchè il sistema intero cpi Fi = 0, 92F2 = 0 sia equivalente al frazionario Fi = 0, F2 = 0, non dovrebbe alcuna soluzione degli ultimi tre sistemi precedenti soddisfare al sistema intero dedotto. È chiaro (e lo si è potuto constatare negli esempi portati prima come in quelli delle equazioni ad un'incognita (111)), che, quando il sistema 91 Fi = 0, ¥2 Fa = 0 fosse lineare e dedotto senza restrizione alcuna per i valori delle incognite, la sua soluzione sarebbe pure l'unica soluzione del sistema proposto frazionario.
   129. Un'incognita, una potenza od in generale una funzione di un'incognita si possono spesso eliminare da due equazioni (e quindi si possono risolvere i sistemi di equazioni), oltreché col metodo seguito (127, 128), che dicesi di sostituzione, anche con due altri metodi, dei quali l'uno si chiama metodo di eliminazione per riduzione (mediante addizione 0 sottrazione) e l'altro, metodo di eliminazione per confronto 0 paragone: essi si basano rispettivamente sulle proprietà dei due commi seguenti e sono sviluppati in questi:
   a) Il sistema F (x,y,----) = 0, Fi (x,y,____) = 0,____ è
   equivalente all'altro che si ottiene considerando, invece di una qualunque delle equazioni del dato, per esempio della
   prima, l'equazione ¿F + &1F1 +----= 0, nella quale le k sono
   costanti, positive 0 negative (anche in parte eguali a zero: nel qual caso, il primo membro è solo la somma di parte delle F).
   Per il n. 94, invece dì equazioni ridotte a zero, si potrebbero considerare equazioni del tipo f  f.
   Si vede che l'equazione &F -f ki Fi 4-____= 0 non è equivalente ad
   (!) Vedansi anche gli esempi 17°, 18°, 19° del n. 20 dell'Introduzione ai miei Pro-b'emi Elementari.