equazioni ed inequazioni. ' 195
   razionali, non potendo affermare che queste sieno equivalenti alle prime, bisognerà fare la verifica diretta delle soluzioni trovate, come fu già avvertito. Molto spesso però, passando senz'altro da ciascuna equazione irrazionale di un dato sistema ad un'equazione razionale mediante innalzamenti a potenza, si ottengono sistemi, dei quali non si sa, almeno facilmente, trovare la soluzione o le soluzioni (1).
   e) Talora un'incognita si può anche eliminare risolvendo, , rispetto ad una sua potenza o ad una sua funzione, una delle
   equazioni del sistema; e si può anche eliminare solo una certa potenza dell' incognita (2).
   f) Dato il sistema F (x, y) = 0, Fi (x, y)  0, se F (x, y) è o si può ridurre prodotto di più funzioni f(x,y), f (x,y),...., tutte contenenti o no le due variabili x, y, le soluzioni del sistema proposto sono quelle dei sistemi parziali (il sistema proposto da luogo ai, si scinde nei sistemi parziali)
   f(x,y) = 0, Fi (x, y)  0; f(x,y) = 0, Fi (x, y) = 0 ; ....;
   e se F ed Fi sono entrambe decomposte o si possono decomporre rispettivamente nei prodotti f (x, y). f (x, y)____,fi(x,
   y). fi (x, y)...., il sistema dato dà luogo ai sistemi parziali
   f (*,*) = 0 f(x,y) = 0 f(x,y) = 0 f (x,y) = 0 fi(x,y) = 0 ' fi(x,y) = o .....'fi(x,y) = 0 >fx(x,y) = 0
   Se, in particolare, F ed Fi hanno un fattore comune y(x,y),
   F = cpf'f'.....Fi - cp fif'iil sistema F = 0, Ft = 0,
   oltre alle soluzioni dei sistemi parziali
   f=0, f1=0; f =0, f'i=0;f'=0, ^=0; f=0,/V=0;....
   ammette anche quelle dell'equazione cp = 0, le quali sono infinite (101) quando cp sia funzione di x ed y.
   Esempi.  1°. (x + y + 2) (2x  y) =0, x2  4xy + 4y2 = 0. Avendosi x2 4xy -f 4y2 = (x  2y)2, i sistemi parziali sono
   x + y +2 = 0 (x - 2 yf = 0
   2x  y = 0 (x  2y)2  0.
   2'. ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f= 0, mx + ny + p = 0. (P. E. Intr. n. 20 es. 3°): se ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f si può presentare come un prodotto (mx + ny + p) (aix + Iny + ci), il sistema considerato
   (!) Vedanai gli esempi 9° e 10° del n. 20 dell' Introduzione ai miei Problemi Elementari altre volte citati.
   P) Vedansi gli esempi 11°, 12°, 13°, 14°, 15°, 16° del n. 20 dell'Introduzione ai miei Problemi Elementari.