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capinolo iii.
aritmetica mma di a, per cui a = km, e ponendo x = ky, si ha la trasformata ym ± 1 = 0. La risoluzione di xm ± a 0, adunque, si riduce sempre a ricercare le radici dell'equazione binomia particolare xm ± 1 = 0, le quali diconsi radici
v m_
dell'unità (positiva o negativa), giacche si ha x =V+1: trovate queste, basterà moltiplicarle per k, in virtù della posizione fatta, per avere le radici della (1.
L'equazione ym 1 = 0 ha sempre la radice 1, ossia fra
m
i valori di Vi vi è sempre 1, perchè lm = 1; la stessa equazione ha la radice 1, se m è pari (perchè in questo caso ( l)m = 1) ed ammette le radici ± i, se m è divisibile per 4, avendosi allora (± j)m = 1. Invece l'equazione ym + 1 = 0 ha la radice reale 1, se m è dispari, e nessuna radice reale, quando m è pari.
L'equazione ym + 1 = 0, se m è dispari, ammette radici eguali opposte a quelle di ym 1 = 0: infatti, se y soddisfa quest'ultima equazione, si ha y'm 1 = 0, cioè y'm + 1 = 0, donde ( y')m + 1 = 0, essendo m dispari.
Troveremo le radici dell'unità per m = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10: evidentemente quando m = 1,1 è la radice dell'unità positiva e 1 quella della negativa.
m = 2
Le ?/2 1=0 ed y2 + 1 = 0 sono equazioni di 2° grado pure, che hanno per radici rispettivamente ±1 e ± i.
1 = {y 1) + y + 1) ; quindi le risolventi«/ 1=0
1 ± ifS
' y
ed y2 + y + 1 = 0 danno le radici 1,
y + 1), si trovano le radici
che potevansi pure dedurre dalle radici di y3
m == 4
Essendo 1/ + 1 = (y + 1) (y
1 ± ijS ' 2 '
1=0, per mezzo del teorema dimostrato su.
y* 1 = (i/ l).(y* + 1) ; quindi le radici ± 1, ± ». / + 1 = (y2 + 1 )2 - 2y2 = (y* + 1 + y y 2 ) {,/ +_1 - y
e per conseguenza due risolventi, che danno le radici ^ ' ~ ^ -
u
Queste potrebbero ottenersi anche così: considerando y* + l O come equazione reciproca, si divida per y2 e si ponga y +
si avrà pertanto la trasformata z2 2 = 0, che ha le radici ± V 2 ; per conseguenza, la posizione fatta dà le risolventi y2 V2y + + 1=0 ed j,2 + V2«/ + 1=0.
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