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   capinolo iii.
   Da quanto precede risulta che è necessario e sufficiente si abbia: c b
   $ > 0,  >. 0,-->.0, affinchè le radici sieno reali, senz'altra con-
   a a
   c b
   dizione; 8 > 0,  > 0,-->0, affinchè tutte e quattro le radici sieno
   a a
   reali e distinte; 5 > 0,  >0, affinchè due sieno reali e due immaginarie. (i
   Devesi notare che la funzione biquadratica ax4 + bx2 + c può scomporsi: in quattro fattori reali lineari, quando le sue radici sono tutte reali; in due fattori reali lineari ed in un fattore reale di secondo grado, quando le radici sono due reali e due immaginarie o complesse, perchè, come si è già osservato, il prodotto di due numeri complessi coniugati {x  ni), (x + ni) o [x  (m +' ni)'] = [(x  m) ni], [x   (m ni)] = [(x  m) + ni] è un numero reale x*+ >w2 o (x  mf + m2; ed infine in due fattori reali di secondo grado, quando le quattro radici sono immaginarie o complesse.
   121. Chiamasi reciproca un'equazione che ha il primo e l'ultimo termine, ed i termini equidistanti da questi, eguali {prima classe) od eguali opposti (seconda classe); con la condizione, per quest'ultima classe, che, se il grado dell'equazione è pari, manchi il termine medio. Esaminiamo, in esempi particolari, i quattro casi possibili:
   Io. aixi-\-(ivx3+ a-¿x'-\- aix + =0 (prima classe, grado pari).... (1. Dividendo per x2 (poiché x = 0 non soddisfa), si ha l'equazione
   Ci (x2 + j + OS \x + ij + «3 = 0;
    da questa, ponendo x +  == y,----(2 e quindi x'1 + ~  y'~  2, si
   x x
   ottiene: ai (y2 2) + any + 03 = 0, cioè aiy2 + avy -f 03  2oi = 0. Le radici yi, y> di quest'equazione di secondo grado, sostituite successivamente nella (2, danno per la (1 le due risolventi quadratiche x2  yix + + 1=0, x2  ijìx + 1 = 0: le quattro radici delle risolventi sono le radici della proposta.
   2°. aix5 + 02 a:4 + a3x3 + az x2 + a2 x + ai = 0 (prima classe, grado dispari). Sostituendo nel primo membro  1 in luogo della x, si ha evidentemente per risultato 0; quindi,  1 è una radice dell'equazione proposta ed il primo membro di questa è divisibile per x + 1 : ciò vedesi " anche raccogliendo i fattori comuni, per cui si ha ai (xb + 1) + 02 a: (x3 + + 1) + asx2 (x + 1) = 0. Effettuando la divisione per x + 1 col teorema