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   CAPITOLO ni.
   la sostituzione, si ottiene: bd  V(i2 4«c) (d2  4af) = 2ae ; donde, (&2 _ 4ac) (d2  4af] = (2oe  M)2, ossia 4aef+ bed ae'  ctP  fb*=0.
   2a. Decomporre in fattori di 2° grado la funzione biquadratica x4, + + 2px3 + qx% + 2px + 1.
   Evidentemente si ha: x*+ 2px3+ qx3+ 2px +1= (x*+ 2px*+p3x3) + + (qx2  pV) + 2px + 1 = (x2 + px)2 + (q  p') x3 + 2px -f-1 = (x3 + + px + p)2  p2 2p a:2 2ppx + (q p3) x2 + 2px + 1 = (x2 +px + f )2
   4- (q  p3  2p) x2 4- 2p (1  p) ar 4- (1  ps), ove p è un parametro. Determinando questo, così che la funzione di x costituita dagli ultimi tre termini sia un quadrato perfetto, si ha p3 (1  p)2  [q  p2  2p). .(1  p2) = 0, cioè (1  p) [p2 (1  p)  (1 4- p) " (q p2~ 2p)] = 0, ossia (1  p) [2p2 (q  2) p 4' 2p3  q] = 0; quindi, dovrà essere p = 1 o p radice di 2p2  (q  2) p + 2p2  q  0. Ora facendo p =1, la proposta si scrive (x2\px + l)2 + (? - p3 2)x2 = (a:2 + px -(-1)2 - [p2+2  q). .x2 = (x3px + l)2 (x^p2 + 2  qf; donde i due fattori di 2° grado in x, x'+px+l + x Ìp3 4-2  q ed x3 4- px 4-1  x \p2 + 2  q.
   g) Calcolare, in funzione dei coefficienti, la somma dello potenze simili (funzione simmetrica) delle radici x',x' dell'equazione x2 4- bx + c = 0. Essendo a < 0, poniamo sm = a:'m4 x'm....{l, ove m sia un numero qualunque, positivo o negativo, compreso lo 0; a condizione però che, quando m <. 0, si abbia c < 0.
   . Allora: so = x'> + x'°=2; «i = x' + x' =  = x3 + x'3 =
   = (x' + x')2 - 2arV = h' ~J2a° ; s3 = x'3 + /' = (x' + x')3-
   a
   - Sx'3x' - Bx'x'2 = (a:' + x')3 - Zxx' (x' 4- x') = 3 'hC ~ h- ; 1 1 _ x'+x' _ . b . _ 1 1 _x3+x'3 _b2-2ac _
   5-1 = ~' > ' S~3 .'ITJ!- 2 y.2 >
   li» «V«*/ v li/ li/ 1/
   1 1 x'3 + x'3 Sabe  b3 _ . . , ,
   s_3= jH =  rt " 3 =-5-"    x x x x c
   trebbe calcolare la somma di due potenze simili qualunque; ma, per avere una formola generale, dalle a;'m~1+ x'm-'=sm-i ed x'-l x'  si si ricava: x'm + x'm + x'm-1x' + x'x'm~1 = sism,1, donde (x'm+x'm) +
   c b
   4- x'x'(x'm~3 + x'**-2)  s,sm_i = 0, ossia sm 4-'-Sm-a +  sm-i=0
   a a
   ed infine asm + bsm-14- csm~% 0. Questa formula permette di calcolare la somma delle potenze simili delle radici di un'equazione di 2° grado, quando si conoscano le somme delle potenze simili delle radici con esponenti minori di una e di due unità: per i diversi valori di m, si ricavano formole, che sono casi particolari di altre trovate da Newton per calcolare, in funzione dei coefficienti, la somma delle potenze simili delle radici di un'equazione di grado h.
   h) Essendo x' ed x ' radici di ax3 -\-bx + c, esprimere mediante i coefficienti o, b e c le seguenti funzioni delle radici: