EQUAZIONI ED INEQUAZIONI. 171
   x'i  x' ± k, x'i = x' ± k. Ecco qualche altro caso par-
   tf 1  xr,. ticolare:
   1°. x'i  x'+ x', x'\  l'i'; allora x'i +x'i =  + -,
   bc a a a
   i't x'i  %=   j, e quindi a2x2  a (c  b) x  bc = 0.
   2°. x'i = kx', x'i = kx'-, si trova subito ax2 + (2ak  l)x + (ak2   bk + c) = 0.
   8°. x i = x'2, x'i  x'2\ per conseguenza x\ + x'i  x'2 + x'2 
   ,  % , f/xa O r ' b2 2c b2  2ac ,  c2
   = (x + x )'  2x'x' =  5--=-5-, x 1 x'i =  5, e 1 equa-
   a2 a a2 a2
   zione domandata è a?x2  (b2  2ac) x + c2 = 0.
   /) Mediante i commi precedenti, si risolvono parecchie questioni sulle funzioni. Per es.: essendo

   Sono poi interessanti per le funzioni le due ricerche che seguono: la. Si voglia trovare la condizione, che dev'essere soddisfatta, perchè ax2 + bxy 4- cy2 + dx 4- ey + f sia decomponibile in un prodotto di fattori lineari. Usiamo il metodo dei coefficienti indeterminati: affinchè la data funzione, che può scriversi ax2 4- (by + d) x 4- cy2 4- ey 4- f, sia identica ad (x 4- my + n) (x + mi y + ni), ossia ad x2 + [im 4- mi) y 4-4- (» 4- ni)] x -f mmiy2+ (mni -j- min) y 4- nni, dovranno sussistere (65) le identità :
   bn 4- d cy2 -'i- ey ~\~f
   (i«4-«ii)y4-(n4-ni)=-^  , mmiy2+{mni + min)y+nm  ^  -  ;
   a a
   cioè, considerando queste nella y, dovranno verificarsi le altre :
   ,6 c d f e
   m + mi  , mmi =  , n + m =  , nni =  , mni 4- Min   a a a a a
   Pertanto (116), m,mi sono radici dell'equazione di 2° grado u2   u +
   a
   c d f
   4-  = 0; od n, ni sono radici dell'altra v2--»4--= 0: da queste
   a , a a
   . . . b±Ìb2  4ac d±^d2  4af  equazioni si ottiene u =-^-, v =-^-. Uno qualunque dei sistemi di valori di m, mi, n,m, che si ricavano, sostituito
   in mni + mm=  dà la condizione richiesta: così, mediante il sistema a
   i 4 Vi2  4ac b  Vi2  4ac d 4- Ìd2  4af m=---, =--, » =-^-, «x-
   d  fd2  4 af
   =-- , quando si facciano gli sviluppi e le riduzioni dopo