Ig8 CAPITOLO III.
   Distinti i tre casi, che può presentare S, si possono trovare anche indirettamente espressioni goniometriche delle radici di ax2 4- bx 4- c = 0 valendosi delle formolo (3 del n. 114, con posizioni adatto ai diversi casi.
   Così, ad es., quando o>0 e quindi anche 8 > 0, calcolato ^~  re posto b = 2or cot a, si trova per le ràdici l'espressione complessiva
    2 ar cot a ± V4a2»-2 (cot2 a + 1) ( , . 1 \  cosa±l --ì :-'- = r  cota±- =r --
   2a \ sen a/ sen a
   2sen2^
   ,. , 1 cosa 2 a
   per cui, una radice e r-- - ---- r tang  e 1 altra
   r sen.a . a a 0 2
   2 sen 7T- cos -¡r ò 2 a 2 2
   1 + cos a C0S 2 a
    r--- -  r-=» r cot  . Quando poi c>0 e 8>0,
   sen a a a 2
   2 sen  cos -g-
   ricorrendo al metodo noto degli angoli ausiliari per rendere le formole calcolabili con logaritmi, da  ^ ~ - =  + jA2 (l  j =
   ~ìa (! + Ì SÌ rÌCaya ' Ta ^ * Vi - sen2 a), posto ^ = = sen2a; donde, per una radice, l'espressiene ~ (1 cosa)= . sen2 yr e, per l'altra radice,  (1 + cos a) =--- cos2 Le espres-
   u ¿ce ci 0
   sioni goniometriche ora trovate per le radici e le altre del n. 117, comma b), applicate all'equazione omogenea x1 + px ± m~ = 0 [comma b), n. prec.], possono essere costruite (come si vedrà meglio in seguito): così, ad es., nel penultimo caso che precede, detcrminato prima a mediante la posizione
   cot a = g-i- = , si debbono poi costruire le formole note m tang
   e  m cot -¡r- "
   Li
   l!9. Conseguenze ed applicazioni.
   a) Determinare due numeri, dei quali si conoscono la somma s ed
   il prodotto p. I due numeri evidentemente (116) costituiscono le radici
   dell'equazione di 2° grado x2  sa: + = 0 : se s2 4p _> 0, essi sono
   g .y_4t? s_V s^_- 4©
   reali, disuguali od uguali, e sono dati da-i -- ed -- .
   2 A
   b) Conoscendo una radice di un'equazione di 2° grado, trovare l'altra senza risolvere l'equazione. Si applica una delle proprietà n. 116.
   7 -I- 3
   Esempi.  1°. x2  7x + 1 =0: se si sa che x' =-^ ~~> poiché
   . , -, , - 7 7 + 3 V5~ 7-3 V5'
   x + x  7, sara x =7--5 1 =----