EQUAZIONI ED INEQUAZIONI. ' 167
ÌLa funzione dei coefficienti 8, che decide della natura delle radici di ax2 " bx + e = 0, ossia di ax2 + bx + c, dicesi discriminante del-l'eipsazione o della funzione di 2° grado. Ridotta l'equazione alla forma
x3+J>x -f
Nel caso della realtà delle radici (8 0), per stabilire a
c
priori il segno delle radici, basterà osservare che, essendo b a
il loro prodotto e la somma:
ci
£
1°) se > 0 (e perciò basta che sia c > 0, essendo a > 0),
CI K
le radici hanno lo stesso segno; e sono entrambe positive od
entrambe negative, secondochè è positivo o negativo {ossia, secondochè b > 0).
c
2°) se <0 (cioè c<0), le radici hanno segni contrari;
ti
e sarà maggiore (in valore assoluto) la positiva o la negativa
ovvero saranno eguali opposte, secondo che 0 (cioè b j> 0).
Valendosi tanto della risoluzione geometrica, come di quella gonio-metrica, si possono anche discutere le radici. Infatti:
a) Perchè la costruzione (117), con cui sì trovano le radici di x2 px ni1, sia possibile, è necessario che la BD incontri o tocchi la
V V2
circonferenza e quindi che ossia ~ > »i2. nota condizione di
realtà; e si vede che, solo quando ~ = m, le radici saranno reali ed
e.'
eguali. La costruzione poi della x'J -f- px = m2 (117) dice che questa equazione e, quindi, anche l'altra x2 px m2 hanno sempre le radici reali, disuguali e di segno contrario, in armonia con quanto si è rilevato in questo numero (c > 0) : solo quando m = 0, una radice è 0 e l'altra p, etc.
V) Essendo sempre sen2aj< 1, perchè la (2 del n. 117 b) sussista, ; 4(7
dovrà essere - < 1, cioè p2 4g > 0, nota condizione di realtà delle P
radici di x2 ± px + q = 0 (segni espliciti) ; e si vede che queste hanno io stesso segno. Dalla (3 del medesimo n. 117 b) risulta poi che l'equazione x2 ± px -2 = 0 (segni espliciti) ammette sempre due radici reali :
queste sono di segno contrario, ed è x' > x', se a > ^ e quindi
u
tang a <; 0, da cui p 0 per la (3 del detto n. 117, come si sapeva, etc.
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