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   - CAPITOLO II.
   5°) ax2 + bx ± c = 0 ed ax2  bx ± c = 0 hanno le stesse radici, ma di segno contrario.
   116. La somma ed il prodotto delle radici della (1 del n. 114
   si sanno esprimere in funzione dei coefficienti (proprietà delle
   dici (di un'equazione di secondo grado) è eguale al coefficiente del termine di primo grado preso col segno contrario e diviso per il coefficiente del termine di secondo grado; il prodotto delle radici è eguale al termine noto preso col proprio segno e diviso per il coefficiente del termine di secondo grado.
   Pertanto, si può formare o costruire un'equazione di 2° grado, che abbia date radici x' ed x' ; essa è x2 {xr+ x') x + x'x'= 0; si sapeva già formare coll'es. 8°, n. 74 d), che dà (x  x') (x  x') =0: questo caso equivale dunque all'altro, in cui sono dati i rapporti dei coefficienti, che qui sono appunto x' + x' ed x'x'. E si vede anche cosi che la somma delle radici sarà 0, cioè le radici saranno eguali opposte, solo quando b  0, avendosi a > 0.
   117. Le radici dell'equazione di 2° grado possono costruirsi anche direttamente (risoluzione geometrica o grafica). Infatti, ridotta la (1 del n. 114 alla forma (5 :x2 +px 2 = 0, col primo termine positivo e, posto m2 in luogo di q (per la legge di continuità, giacché si suppone che x e p rappresentino segmenti), potranno presentarsi (98) i quattro
   casi seguenti (segni espliciti) : a;2  px =  m3____(1, x2 + px = m2____
   .... (2, x2 px = m2.... (3, x2 + px   w2.... (4.
   L'equazione (1, che può porsi sotto la forma x (p  x) = m2 traduce il noto (') problema di planimetria: ' quali sono i lati di un rettangolo, se la loro somma è x+p  x  p e la superficie del rettangolo j»2?  . Quindi, descritta la semicirconferenza di diametro AC = p, preso AB = m sulla tangente in A e condotta da B la parallela ad AC sino ad incontrare la semicirconferenza in F, le radici della (1 saranno rappresentate dai due segmenti AG e GC, nei quali AC è divisa dalla porpendicolare condotta da F: infatti, si sa che AG. GC = FG2, cioè AG(^  AG) = m2, per cui una radice x' è AG e l'altra x'' è data da x'=p  AG = AC   AG = GC.
   L'equazione (2, che può scriversi x (p + x) = m2, traduce l'altro noto problema di geometria: ' quali sono i lati di un rettangolo, che ha per superficie m2 e per differenza degli stessi lati p + x  x  pi  . Quindi, descritta la circonferenza di diametro AC  p e di centro O, preso AB = m sulla tangente in A e condotta la secante BO, che incontri la circonfe-
   radici): x' + x'
   c
   a
   cioè: la somma delle ra-
   (!) E. Bloume, Journal de Mathématique Élémentaire, 17e année, n. 10; Baltzer, Planimetria.