160 - CAPITOLO II.
   ed inoltre p = -f Va2 + ó3, positivo); l'angolo y, dietro l'ipotesi, può ritenersi sempre positivo: allora, l'equazione pro-
   c
   posta dà successivamente sen x . cot y'+ cosx = , sena;.
   c c
   . cos y' + cos x. sen y ~ ~ sen y, sen (x + y) = j sen y .... (2.
   Per quest'ultima equazione, trascurando i multipli di 2ti, si
   hanno (a)) due soluzioni (archi supplementari) x' (acuto) e
   ti x';e quindi, le soluzioni x' y e % x y della proposta.
   Ove non si ponga alcuna restrizione per le radici di (1,
   affinchè esista la soluzione x' della proposta, condizione ne-
   c2 è2
   cessaria e sufficiente è (a)) che -p sen2y'    tangV a2 b2 , , ossia, avendosi sen2y = 1 + tangy=-ì? = a2 + b2' dovra
   b2 b2 + ^ «ssere ^ + ¿2  e perciò a2 + b2 > c2.
   Ma, quando si vogliano per x valori tali che 0 < x < 71, è chiaro che la seconda delle soluzioni trovate n  (x'+ y') soddisfa sempre, poiché a?''ed y' sono acuti: allora, affinchè anche x' y', che per ipotesi rappresenta un arco minore
   7C
   di 5-, possa soddisfare, dovrà essere x  y > 0, ossia x' > y';
   c,
   da cui sen x' > sen y', e, per la (2, j sen y' > sen y, cioè
   evidentemente e > b. Adunque: quando c2 < a2+b2, la (1 avrà una ovvero due soluzioni minori di tc, secondo che c < b ovvero c > b.
   Gli angoli x, che soddisfano la (1, si possono anche determinare facilmente con una costruzione diretta f1). Infatti, assunti due segmenti ortogonali AB ed AC eguali rispettivamente ad a e 6, descritta la circonferenza BAC e condotte le due corde BD e BD' eguali a e, è noto -che la proiezione della somma geometrica BC di 6 ed a sull'asse BD è -eguale alla somma algebrica delle proiezioni di a e 6 sullo stesso asse (2); cioè, BA cos DBA  AC cos EHA = CB cos DBC, donde BA cos DBA -f -f- AC cos AHB = DB ed infine a sen DBA + b cos DBA = c : dunque, l'angolo DBA è una soluzione della (1. Analogamente si dimostra che soddisfa l'angolo D'BA.
   (1) V. altre costruzioni eleganti: Desboves, op. cit., n. 69, pag. 79, cap. Vili.
   (2) V. Bbiot et Bouquet, Leçons de Trigonométrie, Des Projections, pag. 16 e sogg.;
   'S. Obtu-Carboni, Geometria Descrittiva Elementare, vol. I, parte 1®, n. 12.