EQUAZIONI ED INEQUAZIONI. 159
%
Essendo 0<.a
disfa sen x = a, anche % x soddisfa quest'equazione ; es-
3tc
sendo invece 0 >. a J> 1, se l'arco x', tale che k<_x'<. ,
è radice di sen x = a, anche 2tc (x' ti) = re x' (negativo) è una radice: quindi, limitandosi ad archi minori di 360°, vi sono, in entrambi i casi, due radici, x' e % x'. Considerando poi i multipli di 2k, le soluzioni risultano infinite e sono date da 2Jcx + x' e 2kit + r. x'= (2k -f 1) % x (ove k è intero e positivo), ovvero dalla formola unica x = k% + ( l)k x'.
Sia 0 b >. 1. Se x' soddisfa coscc'=Z>, x' è pure radice di quest'equazione: nel primo caso,
e nel secondo,
Se x' è una soluzione di tang x c, anche i+it è soluzione: questi due archi avranno i termini rispettivamente nel 1° e 3° quadrante ovvero nel 2° e 4°, secondo che c > 0 ovvero c < 0. Pertanto, tutte le soluzioni di tang x = c sono date da x' + 2&tc e da x' + iz + 2kn = x' + (2fe + 1) %; ossia, complessivamente, da x' + k%, ove k è un intero qualunque.
La soluzione x si ottiene colle tavole o si può determinare costruendo: per sen x = a e per cos x = b. un triangolo rettangolo, che abbia a o b come un cateto ed il segmento unitario (raggio) come ipotenusa; per tang x = c, un triangolo rettangolo, che abbia c ed 1 per cateti.
Le soluzioni delle equazioni analoghe alle precedenti, che si hanno considerando la cosecante, la secante e la cotangente, sono date da formolo rispettivamente eguali a quelle, che danno le soluzioni del seno, del coseno e della tangente.
b) Operando come si è detto nei nn. 63 ed 89, l'equazione goniometrica a sen x + b cos x = c.... (1 può essere ridotta algebrica (irrazionale); ma più semplicemente, nel modo che segue, si ha un'equazione algebrica lineare, del tipo (1 esaminato nel comma precedente.
Supponiamo che a, b, c sieno positivi: si procede in modo analogo, nei diversi casi che possono presentare i segni di
a, b, c. Si determini un angolo (ausiliario) y' tale che cot y = (ossia, si ponga a = p cos y, b = p sen y; donde cot y = j
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