EQUAZIONI ED INEQUAZIONI.
   ' 153
   di un sistema dato, si da il nome di sistema trasformato del proposto. Queste definizioni si estendono ai sistemi di inequazioni.
   Un sistema dicesi: determinato, quando ammette un numero finito di soluzioni ; indeterminato, se ha un numero infinito di soluzioni; impossibile, ove non esista alcun complesso di valori finiti delle incognite che lo soddisfi.
   Se tutte o parte delle equazioni di un sistema d'equazioni sono frazionarie od irrazionali, ricavando da queste coi metodi noti altre equazioni razionali intere, equivalenti o subordinate alle date, si otterrà un nuovo sistema d'equazioni equivalente o subordinato al dato.
   107. Due equazioni, che hanno una stessa incognita o le stesse incognite, chiamansi: distinte od indipendenti, quando, non essendo equivalenti, possono tuttavia avere in comune alcune radici od alcune soluzioni; incompatibili o contradditorie, se non hanno alcuna radice o soluzione comune.
   Si sa che due equazioni con due incognite, se sono equivalenti, rappresentano una stessa condizione per le incognite, cioè costituiscono in realtà una sola equazione; e poiché questa ha infinite soluzioni (101), il sistema da esse costituito è indeterminato : allora, una delle equazioni è conseguenza dell'altra. In caso contrario, sieno indipendenti od incompatibili, le due equazioni rappresentano condizioni differenti, con questa distinzione che, se le equazioni sono indipendenti, si può soddisfare ad entrambe le condizioni, mentre, se sono incompatibili, non vi si può soddisfare simultaneamente. Se due equazioni formano un sistema determinato, sono indipendenti; ma due equazioni indipendenti possono formare tanto un sistema determinato, come un sistema impossibile: nel qual ultimo caso, sono contradditorie, cioè rappresentano condizioni, cui le incognite non possono essere assoggettate nel medesimo tempo. Dicasi lo stesso, per più equazioni con più incognite.
   108. Spesso, trovando le trasformate (i sistemi trasformati) di date equazioni (di dati sistemi di equazioni simultanee), mediante adatte posizioni, si possono ottenere rispettivamente, da equazioni (sistemi di equazioni) di grado superiore al secondo o frazionarie (frazionari) o irrazionali, altre equazioni di grado minore o intere (interi) o razionali, che l'Algebra elementare può risolvere: come si è già visto nel corso iniziale e nello studio delle funzioni e come vedremo trattando particolarmente le diverse classi di equazioni e sistemi, che sono di pertinenza dell'Algebra elementare.