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   - CAPITOLO II.
    Xn)____(xm+i  identicamente 0: ciò che non può essere,
   perchè, dietro l'ipotesi fatta su xm+1, nessuno dei fattori binomi è 0, ne d'altronde a0 è 0.
   Questo teorema poteva pure ricavarsi senz'altro colla considerazione che ogni radice dà un divisore lineare di F (x) e che quindi il numero dei divisori lineari può essere m, ma non maggiore di m. Se h radici di F (x) sono eguali ad xi, k eguali ad zi, etc., le rimanenti, distinte e da queste radici e fra loro, saranno al più m  h  k  .... : la dimostrazione ed il teorema rimangono invariati.
   Adunque, per poter conchiudere che una funzione F (ai) di grado m, di cui non si conoscono i coefficienti, è identicamente 0, basta sapere che F (a:) è annullata da m + 1 valori distinti di x. Ed in vero, dovendo essere a0{xm+i  Xi). " fen+i  x-s).... (a^+i  xm ) identicamente 0, sarà a0 = 0 ; rimane perciò nel primo membro una funzione di grado m  1, per la quale si vede come prima che il coefficiente «i del termine di grado m  1 è 0: così si trova che sono nulli tutti i coefficienti di F (x), onde F (x) è un' identità.
   Questa proprietà suggerirebbe un altro modo di verificare se una data eguaglianza è identica o no.
   103. Per le equazioni intére sono poi notevoli le proprietà seguenti:
   a) Da ogni equazione se ne può dedurre una equivalente, che abbia il coefficiente del 1° termine eguale ad 1: questa, ove tutti i suoi coefficienti risultino interi, non potrà ammetto
   tere una radice frazionaria  (irriducibile) ; infatti, se ciò fosse, si avrebbe  + ai 4____+ am = 0, donde, molti-
   3m pm
   plicando per q"!'1, "! + intero = 0, il che è assurdo, poiché ^ è irriducibile.
   b) Se due numeri x% ed x2 danno F (zi) ed F (x2) di segno contrario, fra xi ed x2 esiste almeno una radice di F(a:) = 0; giacché F (x) non può passare da un valore negativo ad uno positivo senza attraversare lo 0 (v. Capitoli seguenti). Ove i due numeri xi ed x? comprendano una (ed una sola) radice, si dice che separano questa radice.