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   EQUAZIONI ED INEQUAZIONI. ' 149
   pojiforme), ma anche perchè non sappiamo così se ad ogni vittore arbitrario di x corrisponda sempre un valore di una sa« funzione implicita, cioè non sappiamo se F (x',y) abbia a60jpre radici (*). Comunque sia, queste, quando esistono, potranno essere reali od imaginarie: bisognerà esaminare, in cfàscun caso particolare, in quale intervallo la y è una fungerne reale ed in quale no, giacche ci interessa solo lo studio ,, funzioni reali.
   '$fj)i una data funzione implicita studieremo la variazione ¿t rendendola esplicita, quando ciò si sappia fare ed inoltre  %ffi funzione così ottenuta abbia un tipo noto, od anche, in alcuni casi particolari, direttamente sulla proposta.
   Se si ha F (xi, Xì.....,xn)  0 ed F è una funzione intera, una
   delle variabili, ad es. xi, considerata come funzione (implicita) delle rimanenti dicesi, con una definizione più generale di quella del n. 47,
   funzione algebrica di xì, .....xn: indipendentemente, quindi, dalla
   possibilità di risolvere l'equazione dell' incognita xi, che si ottiene dando
   valori arbitrari ad x$,.....x , ossia considerando (ciò che è lo stesso)
   Xì....., x come costanti (nella quale ipotesi, i coefficienti delle diverse
   potenze di xi sono funzioni di xi,.... , x ). Quando questa risoluzione lia possibile, xi sarà espressa come funzione, razionale od irrazionale, di xz,.... , xn; cioè, si otterrà una funzione algebrica secondo la definizione del n. 47, che ora è un caso particolare di questa. Sono poi trascendenti le funzioni, che non rientrano nella definizione ora data: esse non potranno mai esprimersi mediante un numero finito di addizioni, sottrazioni, etc., da farsi sulle variabili; ma questa non è ora più una loro proprietà caratteristica, come lo è secondo la definizione del n. 47. E si dice propriamente che xi è un numero algebrico, quando soddisfa ad
   un'equazione x' -f- aix'-1 +____-f o _i x + on = 0, in cui i coefficienti a
   sieno razionali (2).
   102. Un'equazione razionale intera di grado m, F [x) = 0,
   non può avere più di m radici. Infatti, se xi, Xa,_____ xm
   sono m sue radici, per cui identicamente F (zi) = F(ara) =____=
   = F(a;m) = 0, e se a0 è il coefficiente di xm, è noto che
   = «o (x  xx)____(x  xm ) : ove, oltre alle m radici xu____,
   a&V l'equazione proposta ammettesse un'altra radice a;m+1 diversa da ciascuna delle precedenti, sarebbe a0 (avi-i  «à) (ìc,»+i
   . Cl) Nei corsi superiori si fa vedere che un'equazione intera di grado m ammette sempre m radici (distinte o multiple, reali o complesse).
   ( ) Dedekind, ' Sur la théorie des nombres entiers algébriques,  Bulletin des sciences mathématique* et astronomiques, publication fondée par Darboux et Hoiiel (t. XI
   Ie serie; et t. I, 2' série). -