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   - CAPITOLO II.
   della natura dell' esponente (se pari o dispari, positivo o negativo). In un dato caso particolare, mediante i teoremi del n. 55, quando sieno soddisfatte le particolari condizioni di quello fra questi teoremi che si applica, potrà stabilirsi se l'inequazione, risultante dall'innalzamento dei due membri ad una data potenza, sia o no equivalente alla proposta.
   essendo fm = /im equivalente a fm fim  0, ossia a (f fi). _ ¡p-i + f fr+.... + /fi _l_ f^m-ij = o, si vede che ogni soluzione di f = fi, la quale renda f ed fi finiti, è soluzione dell'ultima equazione, poiché annulla f fi senza rendere, per l'ipotesi, il secondo fattore infinito ; ma l'equazione, ricavata coli'innalzamento a potenza, avrà di più le radici di f''1 + + f*-*fi + .... + ffi'-2+fi'°-1, estranee alla proposta (ove tutte queste non sieno radici di f fi, il che generalmente non accadrà, ed ove alcuna non renda f fi infinita).
   Quando f ed fi divengano infinite per una soluzione, può darsi che questa non sia soluzione di f^^fi'.
   Risulta dai numeri precedenti che, se si innalzasse F alla potenza m, l'equazione Fm  0 non avrebbe radici estranee ad F = 0, ma ammetterebbe ciascuna radice di quest'ultima m volte (multipla).
   In particolare, data f=fi  %
   1°. f2 fi può avere come radici quelle di f fi e le altre di f + fi, ossia le radici di f = fi e di f   fi (si vede del resto che da entrambe, coli'innalzamento a potenza, deducési f = fi); f  fi3 è in generale soddisfatta dalle radici della proposta e da quelle di f + ffi -f + fi (le quali ultime potranno pure essere immaginarie); f «=/*i è verificata in generale dalle radici della data, da quelle di f   fi e dalle altre di f + fi2 (le quali ultime sono sempre immaginarie), etc.
   2°. Se f ed fi fossero funzioni intere, non potrebbero divenire infinite per una soluzione finita ed assumerebbero entrambe il valore 0 solo per l'annullarsi dei fattori comuni (96); quindi, ponendo in evidenza questi, si vede facilmente che fm = fim avrà sempre soluzioni estranee alla proposta: ma, in questo caso, il teorema ora dimostrato non ha interesse per le applicazioni.
   Innalzando ad opportune potenze, una o più volte successivamente, i due membri di una data equazione irrazionale, si può ricavare una
   Non si possono stabilire norme generali per passare da un'inequazione irrazionale ad un'altra inequazione equivalente razionale.