138
   - CAPITOLO II.
   luogo a risultanti, funzioni di un numero di variabili minore di tre, che quello delle primitive funzioni.
   In particolare, data una funzione di n variabili f{xi,xt,
   _____ ìsu), se Xx  (pi (x ), X2 = cf'2 (.£ ), Xn-l = (fn-l (%>),'
   sostituendo nella f le cp, si ha una funzione della sola variabile xn, F (qji, 92,____, tpn-i, x ) : e così si sono eliminate,
   dalla f, n  1 variabili
   S'intende pertanto con eliminazione di una, due, etc. variabili, da una 0 più funzioni date di n variabili, il fatto algebrico della diminuzione del numero delle variabili indipendenti, da » ad m  1, n  2, etc. nelle stesse funzioni ; in conseguenza della possibilità di esprimere una, due, etc. variabili come funzioni delle rimanenti n  1, n  2, etc. (0 di una parte od ancbe di una sola di queste). L'eliminazione quindi si effettua con una speciale sostituzione (61, 1°), la quale, invece di dare nuove funzioni (trasformate) di altre variabili in virtù di certe posizioni, dà nuove funzioni (risultanti) di alcune fra le variabili primitive: vedremo in seguito che il problema dell'eliminazione si può risolvere in altri modi, quando sieno poste condizioni speciali per le f.
   Allorché le f sono intere e le cp funzioni lineari, i gradi delle risultanti F saranno eguali ai rispettivi gradi delle f; ma se avviene uno dei tre casi seguenti a) che le f non sieno intere, 0 è) che le cp non sieno funzioni lineari, 0 c) che le

   Supporremo in genorale di aver effettuate tutte le operazioni indicate nelle f, prima di sostituire in esse le 9: nel caso delle / frazionarie, prima 0 dopo la sostituzione, le ridurremo tutte alla forma tipica
   (ora cp e    Esempi.  1 f (x, y) = ax + by -f c: essendo y =  a XJ~ 0 , si
   b'
   f[x, y)
   2 (ay-bx  a* b2)
    f--5 7T- se y  ìa  x, essendo
   - b a' b'
   , si ottiene la risultante :
   ¥(x)
   2 (2a2  ax  bx  a
   b2) __2{a  b  x)
   a  b
   3°. f [x, y) = x''+ y2  6: se y = a  x, si ricava: F(x) = 2x'>