122
   - CAPITOLO II.
   87. Data una funzione intera f, non omogenea, di grado m e con n variabili, evidentemente si possono aggruppare i suoi termini, in modo da presentare la funzione proposta come somma di funzioni omogenee fm, fm.u_____ /i,/o rispettivamente dei gradi m, m  1,_____ 1, 0, essendo, come si sa, la
   parte omogenea di grado 0 un'espressione costante; così si
   ha identicamente: f = fm 4 fm-1 4____+ fi + f0. Ora, se t
   è una nuova variabile, la f si può considerare come il risultato della sostituzione t  1 nella funzione intera omogenea
   di n 41 variabili: ffm 4 tf^-i 4 t2fm.2 4.....+ t^fi 4 tmf0.
   Così i tipi delle funzioni intere lineari e quadratiche, non omogenee, ad una ed a due variabili, ax 4 b, axa 4 bx 4 c, ax + by + c, ax2 + by2 + dxy 4 ex 4 gy 4 c (47) possono rispettivamente considerarsi come i valori, che assumono per t = 1 le funzioni, omogenee di grado 1 e di grado 2, ax 4 bt, ax2 4 4 bxt 4 et2, ax 4 by + et, ax3 4 by2 4 ci2 4 dxy 4 ext 4 gyt-
   88. Un'espressione di variabili o di costanti dicesi simmetrica, rispetto alle variabili od alle costanti, se si trasforma nell'espressione stessa, quando si scambiano le variabili o -le costanti a due a due.
   È evidente che, se una funzione simmetrica di x, y, z, ha il termine cxmy' dovrà contenere pure (collo stesso coefficiente c) anche i termini cxm yv zn, ex' ymzv, .... che si ricavano scambiando fra loro x, y, z, ovvero m, n, p.
   In particolare, può avvenire che una funzione di variabili, contenente alcune costanti, sia simmetrica anche rispetto a queste costanti.
   Invece, un'espressione di variabili o di costanti dicesi alternante, se si trasforma nella funzione stessa presa col segno contrario, quando si scambiano fra loro le variabili o le costanti a due a due.
   In particolare, un'espressione può essere alternante, sia rispetto alle variabili, sia rispetto alle costanti che essa contiene.
   Il quadrato di una funzione alternante è una funzione simmetrica; perchè, essendo ad es. f(x, y)   f(y, x), sarà
   [f(x, y)T = [f(y, x)]2.
   Sono simmetriche le espressioni: x 4 y , x2 + y1 -f axy, (x  y)4, xy + yz + zx  x2  y2  z2 (rispetto alle variabili) ;(« + &) (x  y)   abxy, as+ 63 + 4a2b2 5ab (rispetto alle costanti); x*+y2  5(a2+62) 4-