FUNZIONI DI VARIABILI REALI. 121
   se a e <{> sono funzioni intere omogenee di gradi m ed n, è omogenea di grado m  n; perchè
   \(tx,ty,....) = ¿m.cp(a?,y,....) = cp(x,y,....) _ 4>{tx,ty,....) t* .ty{x,y,....) -\(pc,y,...)'
   Il numero m  n può essere positivo (funzione fratta spuria) o negativo (funzione fratta pura).
   Adunque, una funzione razionale omogenea di grado m: a) se ni > 0, è una funzione intera di grado m secondo la definizione del n. 47, essendo m grado comune di tutti i termini della funzione, ovvero è una funzione fratta spuria, nella quale il numeratore ed il denominatore sono funzioni intere omogenee, tali che la differenza fra' gradi del primo e del secondo sia m; b) se m<0, è sempre una funzione frazionaria pura, tale che il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore, e la differenza fra essi è m; c) se m  0, è il quoziente di due funzioni omogenee dello stesso grado, e quindi una funzione fratta spuria, ovvero, in particolare, è una costante.
   Così, solo nel caso dell'omogeneità, alle funzioni razionali frazionarie ed alle irrazionali rimane estesa la definizione del grado generalizzata ad esponenti negativi.
   Le funzioni omogenee di 1 2°, 3°, .... grado diconsi forme lineari, quadratiche, cubiche, .... ; ed inoltre binarie, ternarie, quademarie, ...., secondo cho hanno due, tre, quattro,____ variabili.
   Esempio.  Sono funzioni razionali omogenoe le seguenti: ax4, 4-
   , CCClf^' j cloc^lf + bx3y + cx2y2 + dxif -f et/ (intera di 4° grado) ; x + y---x ~
   (fratta spuria di 2° grado); 8 , ' a--T7~S (fratta spuria digrado 0);
   x'  y' x'  y x2+y2 ~ x3 + y3
   i  -j (fratta spuria di grado  4; non ridotta alla forma
   tipica, come non sono ridotte le due precedenti). Sono invece funzioni irrazionali omogenee: ^x2 + y2  z2 (grado 1); (grado 1); _ _ \2x2  y ^3zd
   ^grado ìj ;  2 (grado 0). Sono poi espressioni costanti
   omogenee le seguenti: ~ + ed  ~ (intera di 2° grado in a, b, c, d, e)-, o 2
   ±,/~ j(irrazionale di 1° grado); ° ^ (frazionaria di 2' grado).