120 - CAPITOLO II.
   Quindi: se, in una funzione omogenea di grado m, con più variabili, si fa una di queste, ad es. x, eguale all'unità e le altre rispettivamente eguali ai loro rapporti alla x, la funzione proposta si trasforma nel prodotto dell' tnm& potenza
   di x per la funzione, che risulta ponendo 1,  _____in luogo
   di x,y,.... nella primitiva.
   E reciprocamente: se una funzione f{x,y,____) è tale che
   f(x,y,____) = r»m %fi{~,____j. essa è omogenea. Infatti, facendo in quest'identità x = tx, y = ty,...., si ha:f(tx, ty, ....) = = (te)n " f (f.....), ossia f (tx, ty ,....) = <-. {a». fi g, ....)} ;
   da cui, per l'ipotesi, risulta: f(tx, ty,____) = tm. f(x, «/,....),
   che è la proprietà caratteristica (1 delle funzioni omogenee.
   Pertanto la (2 si può anche assumere come definizione delle funzioni omogenee.
   Invece di una funzione di variabili, si potrebbe considerare una espressione costante: quindi, le cose stabilite in questo numero e quelle che si dimostreranno nei seguenti 86 e 87, per le funzioni di variabili, valgono anche per le espressioni costanti.
   86. E evidente che, se una funzione intera di x, y,...., è omogenea di grado m inx, j, ...., tutti i suoi termini debbono avere lo stesso grado m rispetto ad x, y,...., cioè debbono contenere m fattori variabili; perchè, solo quando ciò si verifica, può risultare tm fattore comune a tutti i termini dopo la sostituzione caratteristica delle funzioni omogenee, non essendovi variabili nei denominatori. E viceversa: se una funzione intera a più variabili ha tutti i termini dello stesso grado m, essa è omogenea di grado m; poiché allora la sostituzione x  tx, y = ty,.... introduce in ciascun termine il fattore tm, e così sussiste la relazione (1 che definisce le funzioni omogenee.
   Perciò, un termine qualunque di una funzione intera omogenea di grado m delle variabili x, y,----ha la forma tipica
   e«"!1 y____; ove c è una costante ed mlt m2,____sono numeri positivi (anche in parte nulli), tali però che sia -f + m% + ....= m.
   ~ CDI OC U 1
   Una funzione frazionaria ridotta alla forma tipica ^y.....) '