FUNZIONI DI VARIABILI REALI.
   115
   82. Viceversa, data una funzione razionale frazionaria della forma
   tipica \X\ , che supponiamo propria o semplificata, ove si sappia scom-t    porre il denominatore cp (x) in un prodotto di n fattori lineari disuguali  fci) {x r-fa)... .{x  kn), potranno determinarsi n funzioni razionali frazionarie (generatrici) aventi i numeratori costanti e per denominatori rispettivamente i fattori (x  ki), (x  -fa), ...., (x  kn), e tali che la loro somma sia la funzione data Infatti, indicando con ci, a, ..., ca (coefficienti indeterminati (45)) i numeratori delle funzioni generatrici che si cercano, sarà identicamente, qualunquo sia x:
   (x ki) (x  fa)... . (x  kn) x  ki x  fa ''' x  k
   Pertanto, se si pone x*=k\, si avrà : c, = --, ~ -(Per
   {h  fa)----(fa  kn)
   l'ipotesi fatta, non diviene eguale a 0 alcun denominatore del fattore polinomio nell'ultima identità, mentre diviene 0 il fattore x  fa per x  fa: se qualche denominatore fosse 0, risulterebbero simboli destituiti di significato). Analogamente si ricavano gli altri numeri c. \
   i> {x) x(x' l) x (x2 1) X X 1
   ,C3 0 + 1 , 1+1 '
   1 + 1 , .. X*+1 1,1,1
   - -.1; e perciò -  =__ +   -+"
   . ( 1)( 1 1) ' 1,"!wv*(«»-l)
   83. Quando si deve semplificare una funzione frazionaria ^ o ridurre al minimo denominatore comune più funzioni frazionarie , ......od in generale operare su funzioni
   frazionarie, se i denominatori sono irrazionali, d'ordinario giova renderli razionali: ad ogni modo, questa riduzione è necessaria per poter calcolare (con approssimazione in generale) i valori particolari, che le funzioni frazionarie assumono in corrispondenza a dati sistemi di valori particolari delle variabili e delle costanti. Esaminiamo i casi di denominatori irrazionali, che più frequentemente si presentano nell'Algebra Elementare; alcuni di essi sono noti: indicheremo ancora, per semplicità, soltanto colle iniziali f, y, 4>> " " " " > lo funzioni.
   (1) E. Catalan, Manuel dea Candidata à l'École FolytechniqueJa. 391.  Cochez, Journal de Mathématiques Élémentaires, publié sous la direction de 'fiourget, tome premier, p. 332.